Номер 7.3, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.3. Сравните значения выражений $\sin\alpha$ и $\sin2\alpha$, если известно, что:

а) $\alpha = \frac{\pi}{6}$;

б) $\alpha = \frac{\pi}{4}$;

в) $\alpha = \frac{\pi}{2}$;

г) $\alpha = 7\pi$.

Для сравнения значений выражений $sin\alpha$ и $sin2\alpha$ необходимо подставить в них заданные значения угла $\alpha$, вычислить значения синусов и сравнить их.

а) При $\alpha = \frac{\pi}{6}$:

• $sin\alpha = sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $sin2\alpha = sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сравним полученные значения $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравним их числители. Поскольку $1 < \sqrt{3}$ (так как $1^2=1$, а $(\sqrt{3})^2=3$), то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $sin\alpha < sin2\alpha$.

б) При $\alpha = \frac{\pi}{4}$:

• $sin\alpha = sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $sin2\alpha = sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{2} = 1$

Сравним $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1$. Так как $\sqrt{2} < 2$ (так как $(\sqrt{2})^2=2$, а $2^2=4$), то, разделив обе части неравенства на 2, получим $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$.
Ответ: $sin\alpha < sin2\alpha$.

в) При $\alpha = \frac{\pi}{2}$:

• $sin\alpha = sin\frac{\pi}{2} = 1$
• $sin2\alpha = sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = sin\pi = 0$

Сравним полученные значения $1$ и $0$. Очевидно, что $1 > 0$.
Ответ: $sin\alpha > sin2\alpha$.

г) При $\alpha = 7\pi$:

• $sin\alpha = sin(7\pi)$. Используя свойство периодичности синуса ($T=2\pi$), получаем: $sin(7\pi) = sin(\pi + 6\pi) = sin(\pi) = 0$.
• $sin2\alpha = sin(2 \cdot 7\pi) = sin(14\pi)$. Используя свойство периодичности синуса, получаем: $sin(14\pi) = sin(0 + 7 \cdot 2\pi) = sin(0) = 0$.

Сравниваем полученные значения $0$ и $0$. Они равны.
Ответ: $sin\alpha = sin2\alpha$.