Номер 7.10, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.10. Возможно ли равенство:

а) $sin \alpha = 1,2$;

б) $sin \alpha = -\frac{8}{9}$;

в) $cos \alpha = 0,2$;

г) $cos \alpha = -\sqrt{3}$?

Для того чтобы определить, возможно ли равенство, необходимо проверить, принадлежит ли указанное значение области значений тригонометрических функций синуса и косинуса. Для любого угла $\alpha$ значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ должны принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

а) $\sin\alpha = 1,2$ Значение $1,2$ можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{10}$. Так как целая часть этого числа равна 1, а дробная часть положительна, то $1,2 > 1$. Поскольку значение синуса не может быть больше $1$, данное равенство невозможно. Ответ: нет.

б) $\sin\alpha = -\frac{8}{9}$ Значение $-\frac{8}{9}$ находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, так как его модуль $|\!-\frac{8}{9}| = \frac{8}{9} < 1$. Следовательно, такое равенство возможно. Ответ: да.

в) $\cos\alpha = 0,2$ Значение $0,2$ находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, так как $-1 \le 0,2 \le 1$. Следовательно, такое равенство возможно. Ответ: да.

г) $\cos\alpha = -\sqrt{3}$ Чтобы оценить значение $-\sqrt{3}$, сравним его модуль с $1$. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$. Целая часть числа $\sqrt{3}$ (которое примерно равно $1,732$) равна 1, но само число больше $1$. Это означает, что $-\sqrt{3} < -1$. Поскольку значение косинуса не может быть меньше $-1$, данное равенство невозможно. Ответ: нет.