Номер 7.12, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.12. Найдите все значения числа $a$, при которых возможно равенство:

a) $\sin \alpha = a - 5$;

б) $\cos \alpha = a^2 - 8$;

в) $\sin \alpha = a^2 + a - 1$;

г) $\cos \alpha = 5a - a^2 - 5$.

Для того чтобы данное равенство было возможно, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало отрезку $[-1, 1]$, так как область значений функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.

а) $\sin\alpha = a - 5$

Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le a - 5 \le 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-1 + 5 \le a \le 1 + 5$

$4 \le a \le 6$

Таким образом, равенство возможно при $a \in [4, 6]$.

Ответ: $a \in [4, 6]$.

б) $\cos\alpha = a^2 - 8$

Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le a^2 - 8 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

1. $a^2 - 8 \ge -1$
2. $a^2 - 8 \le 1$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $a^2 \ge 7 \implies |a| \ge \sqrt{7}$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$.
2. $a^2 \le 9 \implies |a| \le 3$. Решением является отрезок $[-3, 3]$.

Найдем пересечение этих решений. Учитывая, что $2^2=4$ и $3^2=9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{7} < 3$.

Пересечением множеств $(-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$ и $[-3, 3]$ является объединение отрезков $[-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$.

Ответ: $a \in [-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$.

в) $\sin\alpha = a^2 + a - 1$

Аналогично, $-1 \le \sin\alpha \le 1$, поэтому:

$-1 \le a^2 + a - 1 \le 1$

Решим систему из двух неравенств:

1. $a^2 + a - 1 \ge -1$
2. $a^2 + a - 1 \le 1$

Решаем каждое:

1. $a^2 + a \ge 0 \implies a(a+1) \ge 0$. Корни $a=0$ и $a=-1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $a \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
2. $a^2 + a - 2 \le 0$. Корни уравнения $a^2 + a - 2 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = -2$ и $a_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $a \in [-2, 1]$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, -1] \cup [0, \infty)$ и $[-2, 1]$.

Пересечением является множество $[-2, -1] \cup [0, 1]$.

Ответ: $a \in [-2, -1] \cup [0, 1]$.

г) $\cos\alpha = 5a - a^2 - 5$

Условие $-1 \le \cos\alpha \le 1$ приводит к неравенству:

$-1 \le 5a - a^2 - 5 \le 1$

Рассмотрим систему:

1. $5a - a^2 - 5 \ge -1$
2. $5a - a^2 - 5 \le 1$

Решим каждое неравенство:

1. $-a^2 + 5a - 4 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $a^2 - 5a + 4 \le 0$. Корни уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$ равны $a_1=1$ и $a_2=4$. Ветви параболы вверх, значит, решение $a \in [1, 4]$.
2. $-a^2 + 5a - 6 \le 0$. Умножим на -1: $a^2 - 5a + 6 \ge 0$. Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ равны $a_1=2$ и $a_2=3$. Ветви параболы вверх, значит, решение $a \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $[1, 4]$ и $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Пересечением является множество $[1, 2] \cup [3, 4]$.

Ответ: $a \in [1, 2] \cup [3, 4]$.