Номер 7.15, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.15. Известно, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Сравните с нулем значение выражения:

а) $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$;

б) $\cos^2\alpha + \sin\alpha$;

в) $\sin2\alpha\cos\alpha$;

г) $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся информацией о знаках тригонометрических функций в разных координатных четвертях. По условию, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти.

Во второй четверти:

• Синус угла положителен: $\sin\alpha > 0$.
• Косинус угла отрицателен: $\cos\alpha < 0$.

Теперь сравним с нулем значение каждого выражения.

а) $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Данное выражение представляет собой тангенс угла $\alpha$. Знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя.

• Числитель $\sin\alpha$ положителен.
• Знаменатель $\cos\alpha$ отрицателен.

При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. Таким образом, значение выражения меньше нуля.

Ответ: выражение меньше нуля.

б) $\cos^2\alpha + \sin\alpha$

Рассмотрим знаки каждого слагаемого в сумме.

• $\cos^2\alpha$: так как квадрат любого действительного ненулевого числа положителен, а $\cos\alpha \ne 0$ во второй четверти, то $\cos^2\alpha > 0$.
• $\sin\alpha$: во второй четверти синус положителен, $\sin\alpha > 0$.

Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Ответ: выражение больше нуля.

в) $\sin(2\alpha)\cos\alpha$

Определим знак каждого множителя.

• $\cos\alpha < 0$, так как $\alpha$ находится во второй четверти.
• Для определения знака $\sin(2\alpha)$ найдем, в какой четверти находится угол $2\alpha$. Из неравенства $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ путем умножения на 2 получаем $\pi < 2\alpha < 2\pi$. Этот диапазон соответствует третьей и четвертой координатным четвертям, где синус отрицателен. Следовательно, $\sin(2\alpha) < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел ($\cos\alpha < 0$ и $\sin(2\alpha) < 0$) является положительным числом.

Ответ: выражение больше нуля.

г) $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделим неравенство $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ на 2:

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$

Этот диапазон соответствует первой координатной четверти. В первой четверти и синус, и косинус положительны.

• $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$
• $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$

Сумма двух положительных чисел является положительным числом.

Ответ: выражение больше нуля.