Номер 7.16, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.16. Известно, что $\pi < \alpha < 1.5\pi$. Упростите выражение:

a) $|\sin\alpha| - \sin\alpha;$

б) $\cos\alpha + |\cos\alpha|;$

в) $\frac{|\sin\alpha|}{\sin\alpha};$

г) $\frac{5\cos\alpha}{|\cos\alpha|}.$

Для решения данной задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в заданном промежутке. Угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < 1.5\pi$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения:

• $\sin\alpha < 0$
• $\cos\alpha < 0$

Используем определение модуля числа: $|x| = x$, если $x \ge 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.

а) $|\sin\alpha| - \sin\alpha$;
Поскольку $\sin\alpha < 0$ в третьей четверти, то по определению модуля $|\sin\alpha| = -\sin\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$|\sin\alpha| - \sin\alpha = (-\sin\alpha) - \sin\alpha = -2\sin\alpha$.
Ответ: $-2\sin\alpha$.

б) $\cos\alpha + |\cos\alpha|$;
Поскольку $\cos\alpha < 0$ в третьей четверти, то по определению модуля $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos\alpha + |\cos\alpha| = \cos\alpha + (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cos\alpha = 0$.
Ответ: 0.

в) $\frac{|\sin\alpha|}{\sin\alpha}$;
Так как $\sin\alpha < 0$, то $|\sin\alpha| = -\sin\alpha$. Заметим, что $\sin\alpha \neq 0$, поскольку $\alpha \neq \pi$.
Подставим в дробь:
$\frac{|\sin\alpha|}{\sin\alpha} = \frac{-\sin\alpha}{\sin\alpha} = -1$.
Ответ: -1.

г) $\frac{5\cos\alpha}{|\cos\alpha|}$;
Так как $\cos\alpha < 0$, то $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$. Заметим, что $\cos\alpha \neq 0$, поскольку $\alpha \neq 1.5\pi$.
Подставим в дробь:
$\frac{5\cos\alpha}{|\cos\alpha|} = \frac{5\cos\alpha}{-\cos\alpha} = -5$.
Ответ: -5.