Номер 7.9, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.9. Запишите все углы $ \alpha $, для которых известно, что:

а) $ \sin \alpha = -1 $;

б) $ \sin \alpha = 0 $;

в) $ \cos \alpha = 1 $;

г) $ \cos \alpha = -1 $.

а) sinα = -1;
Для решения уравнения $\sin\alpha = -1$ рассмотрим единичную окружность. Синус угла — это ордината (координата y) точки на этой окружности. Значение -1 ордината принимает в единственной точке с координатами (0, -1).
Этой точке соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Поскольку функция синуса имеет период $2\pi$, все решения получаются добавлением к этому значению целого числа полных оборотов ($2\pi k$).
Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Согласно условию, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби $\frac{3}{2}$. Имеем: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $\alpha = 1\frac{1}{2}\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) sinα = 0;
Уравнение $\sin\alpha = 0$ выполняется для углов, которым на единичной окружности соответствуют точки с ординатой $y=0$. Таких точек две: (1, 0) и (-1, 0).
Им соответствуют углы $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$, то есть все углы, кратные $\pi$.
Общее решение записывается в виде:
Ответ: $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) cosα = 1;
Косинус угла — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Уравнение $\cos\alpha = 1$ справедливо для углов, которым соответствует точка с абсциссой $x=1$. Это точка с координатами (1, 0).
Этой точке соответствуют углы, полученные полными оборотами из начального положения, то есть углы, кратные $2\pi$.
Общее решение:
Ответ: $\alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) cosα = -1;
Уравнение $\cos\alpha = -1$ справедливо для углов, которым на единичной окружности соответствует точка с абсциссой $x=-1$. Это точка с координатами (-1, 0).
Этой точке соответствует угол $\pi$. С учетом периодичности функции косинуса ($2\pi$), все решения получаются добавлением к $\pi$ целого числа полных оборотов.
Общее решение:
Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.