Номер 6.12, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.12. Запишите несколько углов $\alpha$, соответствующих точке единичной окружности, ордината которой равна:

а) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $-\frac{1}{2}$;

в) $0$;

г) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ордината точки на единичной окружности — это значение синуса угла $ \alpha $, который соответствует этой точке при откладывании от положительного направления оси абсцисс. Таким образом, задача состоит в нахождении нескольких углов $ \alpha $, для которых $ \sin(\alpha) $ принимает заданные значения.

Поскольку синус является периодической функцией с периодом $ 2\pi $ ($360^\circ$), для каждого значения ординаты существует бесконечное множество соответствующих углов. Если мы находим один или два базовых угла, все остальные можно получить, прибавляя или вычитая целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число).

а) Ищем углы $ \alpha $, для которых ордината, то есть $ \sin(\alpha) $, равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Положительное значение синуса соответствует углам в I и II координатных четвертях.

• В I четверти основной угол равен $ \alpha_1 = \frac{\pi}{4} $.
• Во II четверти основной угол равен $ \alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Для получения еще одного угла можно прибавить полный оборот $ 2\pi $ к одному из найденных углов, например, к $ \alpha_1 $:
$ \alpha_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} $.
Так как $ \frac{9}{4} $ — неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $ \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $, $ \frac{3\pi}{4} $, $ 2\frac{1}{4}\pi $.

б) Ищем углы $ \alpha $, для которых $ \sin(\alpha) = -\frac{1}{2} $.
Отрицательное значение синуса соответствует углам в III и IV координатных четвертях. Опорный угол (для которого $ \sin(\theta) = \frac{1}{2} $) равен $ \frac{\pi}{6} $.

• В III четверти угол равен $ \alpha_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $.
• В IV четверти угол равен $ \alpha_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} $.

Также для IV четверти можно использовать отрицательный угол $ \alpha_3 = -\frac{\pi}{6} $, который соответствует той же точке, что и $ \alpha_2 $.
Выделим целые части из неправильных дробей $ \frac{7}{6} $ и $ \frac{11}{6} $:
$ \frac{7\pi}{6} = 1\frac{1}{6}\pi $ и $ \frac{11\pi}{6} = 1\frac{5}{6}\pi $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $, $ 1\frac{1}{6}\pi $, $ 1\frac{5}{6}\pi $.

в) Ищем углы $ \alpha $, для которых $ \sin(\alpha) = 0 $.
Это соответствует точкам, лежащим на оси абсцисс (Ox).
Такими углами являются $ 0, \pi, 2\pi, -\pi $ и так далее. Все они описываются общей формулой $ \alpha = \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
В данном случае среди ответов нет неправильных дробей.
Ответ: $ 0 $, $ \pi $, $ 2\pi $.

г) Ищем углы $ \alpha $, для которых $ \sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Отрицательное значение синуса соответствует углам в III и IV координатных четвертях. Опорный угол (для которого $ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} $) равен $ \frac{\pi}{3} $.

• В III четверти угол равен $ \alpha_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $.
• В IV четверти угол равен $ \alpha_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.

Для IV четверти также можно использовать отрицательный угол $ \alpha_3 = -\frac{\pi}{3} $.
Выделим целые части из неправильных дробей $ \frac{4}{3} $ и $ \frac{5}{3} $:
$ \frac{4\pi}{3} = 1\frac{1}{3}\pi $ и $ \frac{5\pi}{3} = 1\frac{2}{3}\pi $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $, $ 1\frac{1}{3}\pi $, $ 1\frac{2}{3}\pi $.