Номер 6.5, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.5. Запишите угол $\beta$, $-2\pi \le \beta < 0$, для которого точка $P_\beta$ совпадает с точкой:

а) $P_\pi$;

б) $P_{\frac{2\pi}{3}}$;

в) $P_{-2,5\pi}$;

г) $P_{3,5\pi}$.

Для того чтобы точка $P_{\beta}$ совпадала с точкой $P_{\alpha}$, необходимо, чтобы их углы отличались на целое число полных оборотов ($2\pi$). Математически это записывается как:
$\beta = \alpha + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В задаче требуется найти такое значение угла $\beta$, которое удовлетворяет неравенству $-2\pi \le \beta \le 0$. Для каждого случая мы подставим значение $\alpha$ и найдем соответствующее целое число $k$, чтобы $\beta$ попало в заданный диапазон.

а) Дана точка $P_{\pi}$. Здесь $\alpha = \pi$.
Ищем $\beta = \pi + 2\pi k$, удовлетворяющее условию $-2\pi \le \beta \le 0$.
Подставим выражение для $\beta$ в неравенство:
$-2\pi \le \pi + 2\pi k \le 0$
Вычтем $\pi$ из всех частей неравенства:
$-2\pi - \pi \le 2\pi k \le 0 - \pi$
$-3\pi \le 2\pi k \le -\pi$
Разделим все части на $2\pi$:
$-\frac{3\pi}{2\pi} \le k \le -\frac{\pi}{2\pi}$
$-1,5 \le k \le -0,5$
Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому условию, это $k = -1$.
Теперь найдем $\beta$:
$\beta = \pi + 2\pi(-1) = \pi - 2\pi = -\pi$.
Этот угол находится в требуемом диапазоне ($-2\pi \le -\pi \le 0$).
Ответ: $-\pi$.

б) Дана точка $P_{\frac{2\pi}{3}}$. Здесь $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Ищем $\beta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ в диапазоне $-2\pi \le \beta \le 0$.
$-2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 0$
Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей:
$-2\pi - \frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le -\frac{2\pi}{3}$
$-\frac{6\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le -\frac{2\pi}{3}$
$-\frac{8\pi}{3} \le 2\pi k \le -\frac{2\pi}{3}$
Разделим на $2\pi$:
$-\frac{8\pi}{3 \cdot 2\pi} \le k \le -\frac{2\pi}{3 \cdot 2\pi}$
$-\frac{4}{3} \le k \le -\frac{1}{3}$ (или $-1,33... \le k \le -0,33...$)
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k = -1$.
Найдем $\beta$:
$\beta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$.
Полученная дробь $-\frac{4}{3}$ является неправильной. Выделим целую часть: $-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\mathbf{1}\frac{\pi}{3}$.

в) Дана точка $P_{-2,5\pi}$. Здесь $\alpha = -2,5\pi = -\frac{5\pi}{2}$.
Ищем $\beta = -\frac{5\pi}{2} + 2\pi k$ в диапазоне $-2\pi \le \beta \le 0$.
$-2\pi \le -\frac{5\pi}{2} + 2\pi k \le 0$
Прибавим $\frac{5\pi}{2}$ ко всем частям:
$-2\pi + \frac{5\pi}{2} \le 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$
$-\frac{4\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} \le 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \le 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$
Разделим на $2\pi$:
$\frac{\pi}{2 \cdot 2\pi} \le k \le \frac{5\pi}{2 \cdot 2\pi}$
$\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$ (или $0,25 \le k \le 1,25$)
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k = 1$.
Найдем $\beta$:
$\beta = -\frac{5\pi}{2} + 2\pi(1) = -\frac{5\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

г) Дана точка $P_{3,5\pi}$. Здесь $\alpha = 3,5\pi = \frac{7\pi}{2}$.
Ищем $\beta = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k$ в диапазоне $-2\pi \le \beta \le 0$.
$-2\pi \le \frac{7\pi}{2} + 2\pi k \le 0$
Вычтем $\frac{7\pi}{2}$ из всех частей:
$-2\pi - \frac{7\pi}{2} \le 2\pi k \le -\frac{7\pi}{2}$
$-\frac{4\pi}{2} - \frac{7\pi}{2} \le 2\pi k \le -\frac{7\pi}{2}$
$-\frac{11\pi}{2} \le 2\pi k \le -\frac{7\pi}{2}$
Разделим на $2\pi$:
$-\frac{11\pi}{2 \cdot 2\pi} \le k \le -\frac{7\pi}{2 \cdot 2\pi}$
$-\frac{11}{4} \le k \le -\frac{7}{4}$ (или $-2,75 \le k \le -1,75$)
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k = -2$.
Найдем $\beta$:
$\beta = \frac{7\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{7\pi}{2} - 4\pi = \frac{7\pi - 8\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.