Номер 5.9, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.9. Многочлен $P(x)$ делится на $x - 1$ без остатка, а при делении на $x + 2$ дает остаток 3. Найдите остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x^2 + x - 2$.

По условию задачи, многочлен $P(x)$ делится на $x - 1$ без остатка. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$. Таким образом, из первого условия следует, что $P(1) = 0$.

Также по условию, при делении $P(x)$ на $x + 2$ остаток равен 3. Двучлен $x + 2$ можно представить в виде $x - (-2)$. Следовательно, по той же теореме, $P(-2) = 3$.

Нам необходимо найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен второй степени $x^2 + x - 2$. При делении на многочлен второй степени остаток будет многочленом, степень которого меньше степени делителя, то есть не выше первой. Запишем искомый остаток в общем виде как $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ – неизвестные коэффициенты.

Общий вид деления многочлена с остатком записывается как:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

В нашем случае:

$P(x) = (x^2 + x - 2) \cdot Q(x) + (ax + b)$, где $Q(x)$ – частное от деления.

Разложим делитель $x^2 + x - 2$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Таким образом, разложение на множители имеет вид:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

Теперь тождество деления можно переписать так:

$P(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot Q(x) + ax + b$

Воспользуемся известными нам значениями $P(1)$ и $P(-2)$ для нахождения коэффициентов $a$ и $b$. Подставим в это равенство поочередно $x = 1$ и $x = -2$.

При $x = 1$:

$P(1) = (1 - 1)(1 + 2) \cdot Q(1) + a \cdot 1 + b$

$0 = 0 \cdot 3 \cdot Q(1) + a + b$

$a + b = 0$

При $x = -2$:

$P(-2) = (-2 - 1)(-2 + 2) \cdot Q(-2) + a \cdot (-2) + b$

$3 = (-3) \cdot 0 \cdot Q(-2) - 2a + b$

$-2a + b = 3$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

1. $a + b = 0$
2. $-2a + b = 3$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = -a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-2a + (-a) = 3$

$-3a = 3$

$a = -1$

Теперь найдем $b$:

$b = -a = -(-1) = 1$

Мы нашли коэффициенты искомого остатка $R(x) = ax + b$. Таким образом, остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x^2 + x - 2$ равен $-1 \cdot x + 1 = -x + 1$.

Ответ: $-x + 1$.