Номер 5.3, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.3. Разложите на множители многочлен:

a) $x^3 - x^2 - 8x + 12$;

б) $2x^3 + 7x^2 - 28x + 12$;

в) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16$;

г) $6x^4 - 11x^3 + 9x^2 - 11x + 3.$

а) Разложим на множители многочлен $x^3 - x^2 - 8x + 12$.

Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена (числа 12). Делители числа 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим некоторые из них подстановкой в многочлен $P(x) = x^3 - x^2 - 8x + 12$:

$P(1) = 1^3 - 1^2 - 8(1) + 12 = 1 - 1 - 8 + 12 = 4 \ne 0$

$P(2) = 2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$.

Поскольку $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а $(x-2)$ — его множителем. Разделим многочлен на $(x-2)$ столбиком или по схеме Горнера.

 2 | 1 -1 -8 12 | 2 2 -12 ----------------- 1 1 -6 0 

Результат деления — многочлен $x^2 + x - 6$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Найдем его корни по теореме Виета: произведение корней равно -6, а сумма равна -1. Это числа -3 и 2. Таким образом:

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x-2)(x+3)$.

Собираем все множители вместе:

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x^2 + x - 6) = (x-2)(x-2)(x+3) = (x-2)^2(x+3)$.

Ответ: $(x-2)^2(x+3)$.

б) Разложим на множители многочлен $2x^3 + 7x^2 - 28x + 12$.

Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена 12 ($\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$), а $q$ — делитель старшего коэффициента 2 ($\pm1, \pm2$).

Проверим некоторые из возможных корней. Пусть $P(x) = 2x^3 + 7x^2 - 28x + 12$.

$P(2) = 2(2^3) + 7(2^2) - 28(2) + 12 = 2(8) + 7(4) - 56 + 12 = 16 + 28 - 56 + 12 = 0$.

Корень $x=2$ найден, значит, $(x-2)$ является множителем. Разделим многочлен на $(x-2)$ по схеме Горнера:

 2 | 2 7 -28 12 | 4 22 -12 ------------------ 2 11 -6 0

Получили многочлен $2x^2 + 11x - 6$.

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + 11x - 6 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4(2)(-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 13}{4}$.

$x_1 = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-11 - 13}{4} = \frac{-24}{4} = -6$

Следовательно, $2x^2 + 11x - 6 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-6)) = (2x - 1)(x+6)$.

Итоговое разложение:

$2x^3 + 7x^2 - 28x + 12 = (x-2)(2x-1)(x+6)$.

Ответ: $(x-2)(x+6)(2x-1)$.

в) Разложим на множители многочлен $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16$.

Возможные целые корни — делители числа 16: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16$.

Пусть $P(x) = x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16$. Проверяем:

$P(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - 8(-1)^2 + 12(-1) + 16 = 1 - 3(-1) - 8(1) - 12 + 16 = 1 + 3 - 8 - 12 + 16 = 0$.

Корень $x=-1$ найден, делим многочлен на $(x+1)$:

 -1 | 1 -3 -8 12 16 | -1 4 4 -16 ----------------------- 1 -4 -4 16 0

Получили многочлен $x^3 - 4x^2 - 4x + 16$. Его можно разложить на множители методом группировки:

$x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = (x^3 - 4x^2) - (4x - 16) = x^2(x - 4) - 4(x - 4) = (x^2 - 4)(x - 4)$.

Множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Таким образом, $x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = (x-2)(x+2)(x-4)$.

Итоговое разложение:

$x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16 = (x+1)(x-2)(x+2)(x-4)$.

Ответ: $(x+1)(x-2)(x+2)(x-4)$.

г) Разложим на множители многочлен $6x^4 - 11x^3 + 9x^2 - 11x + 3$.

Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель 3 ($\pm1, \pm3$), а $q$ — делитель 6 ($\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$). Возможные корни: $\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}$.

Пусть $P(x) = 6x^4 - 11x^3 + 9x^2 - 11x + 3$. Проверяем:

$P(\frac{1}{3}) = 6(\frac{1}{3})^4 - 11(\frac{1}{3})^3 + 9(\frac{1}{3})^2 - 11(\frac{1}{3}) + 3 = 6(\frac{1}{81}) - 11(\frac{1}{27}) + 9(\frac{1}{9}) - \frac{11}{3} + 3 = \frac{6}{81} - \frac{11}{27} + 1 - \frac{11}{3} + 3 = \frac{2}{27} - \frac{11}{27} + 4 - \frac{99}{27} = \frac{2-11-99}{27} + 4 = \frac{-108}{27} + 4 = -4 + 4 = 0$.

Корень $x=\frac{1}{3}$ найден. Это значит, что $(x - \frac{1}{3})$, или, что удобнее, $(3x-1)$ является множителем. Выполним деление многочлена на $(3x-1)$ столбиком:

 2x³ - 3x² + 2x - 3 _______________________3x-1 | 6x⁴ - 11x³ + 9x² - 11x + 3 -(6x⁴ - 2x³) ----------------- -9x³ + 9x² -(-9x³ + 3x²) -------------- 6x² - 11x -(6x² - 2x) ------------ -9x + 3 -(-9x + 3) ----------- 0

Получили многочлен $2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$. Разложим его на множители методом группировки:

$2x^3 - 3x^2 + 2x - 3 = (2x^3 - 3x^2) + (2x - 3) = x^2(2x - 3) + 1(2x - 3) = (x^2 + 1)(2x - 3)$.

Многочлен $x^2+1$ не имеет действительных корней и далее не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Итоговое разложение:

$6x^4 - 11x^3 + 9x^2 - 11x + 3 = (3x-1)(2x-3)(x^2+1)$.

Ответ: $(3x-1)(2x-3)(x^2+1)$.