Номер 5.8, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.8. Многочлен $P(x)$ при делении на $x - 1$ дает остаток 3, а при делении на $x - 2$ дает остаток 5. Найдите остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x^2 - 3x + 2$.

По условию задачи, многочлен $P(x)$ при делении на $x - 1$ дает остаток 3, а при делении на $x - 2$ дает остаток 5.

Согласно теореме Безу (которая является следствием теоремы о делении многочленов с остатком), остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $P(a)$.

Применяя эту теорему к условиям задачи, мы получаем два равенства:

• $P(1) = 3$
• $P(2) = 5$

Нам необходимо найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен второй степени $x^2 - 3x + 2$. При делении на многочлен второй степени остаток $R(x)$ будет многочленом, степень которого строго меньше 2, то есть не выше первой. Таким образом, остаток можно представить в виде $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые константы.

Запишем основное равенство для деления с остатком: $P(x) = (x^2 - 3x + 2) \cdot Q(x) + R(x)$, где $Q(x)$ — частное.

Сначала разложим делитель $x^2 - 3x + 2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, его корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Следовательно, разложение делителя на множители имеет вид: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Теперь равенство для деления можно записать так: $P(x) = (x - 1)(x - 2) \cdot Q(x) + (ax + b)$

Чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$, воспользуемся известными нам значениями $P(1)$ и $P(2)$. Подставим $x = 1$ и $x = 2$ в это равенство.

При $x = 1$:
$P(1) = (1 - 1)(1 - 2) \cdot Q(1) + (a \cdot 1 + b)$
$3 = 0 \cdot (-1) \cdot Q(1) + a + b$
$3 = a + b$

При $x = 2$:
$P(2) = (2 - 1)(2 - 2) \cdot Q(2) + (a \cdot 2 + b)$
$5 = 1 \cdot 0 \cdot Q(2) + 2a + b$
$5 = 2a + b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 5 \end{cases} $$

Решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго: $(2a + b) - (a + b) = 5 - 3$
$a = 2$

Теперь подставим найденное значение $a = 2$ в первое уравнение, чтобы найти $b$: $2 + b = 3$
$b = 1$

Мы нашли коэффициенты остатка: $a = 2$ и $b = 1$. Следовательно, искомый остаток $R(x) = ax + b$ равен $2x + 1$.

Ответ: $2x + 1$.