Номер 5.6, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.6. При каких значениях $a$ многочлен $x^3 + 6x^2 + ax + 5$ делится без остатка на $x^2 + x + 1$?

Для того чтобы многочлен $P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + 5$ делился на многочлен $Q(x) = x^2 + x + 1$ без остатка, остаток от деления $P(x)$ на $Q(x)$ должен быть равен нулю. Один из способов найти этот остаток — выполнить деление многочленов в столбик.

1. Деление $x^3$ на $x^2$:

Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $x$. Это первый член частного. Умножаем весь делитель $x^2 + x + 1$ на $x$ и вычитаем результат из исходного многочлена:

$(x^3 + 6x^2 + ax + 5) - x \cdot (x^2 + x + 1) = (x^3 + 6x^2 + ax + 5) - (x^3 + x^2 + x) = 5x^2 + (a-1)x + 5$

2. Деление $5x^2$ на $x^2$:

Теперь делим старший член полученного выражения ($5x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $5$. Это второй член частного. Умножаем делитель $x^2 + x + 1$ на $5$ и вычитаем результат из выражения, полученного на предыдущем шаге:

$(5x^2 + (a-1)x + 5) - 5 \cdot (x^2 + x + 1) = (5x^2 + (a-1)x + 5) - (5x^2 + 5x + 5) = (a-1-5)x + (5-5) = (a-6)x$

3. Определение значения $a$:

Мы получили частное $x+5$ и остаток $(a-6)x$. По условию задачи, многочлен должен делиться без остатка, значит, остаток должен быть равен нулю для любого значения $x$.

$(a-6)x = 0$

Это равенство будет верным, только если коэффициент при $x$ равен нулю:

$a - 6 = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 6$

Ответ: 6