Номер 5.4, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.4. Разложите на множители многочлен:

а) $(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15;$

б) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15$, необходимо правильно сгруппировать множители. Идея состоит в том, чтобы найти пары скобок, в которых сумма свободных членов одинакова. В данном случае, $1 + 7 = 8$ и $3 + 5 = 8$.

Перегруппируем множители следующим образом:

$[(x + 1)(x + 7)][(x + 3)(x + 5)] + 15$

Теперь перемножим скобки в каждой паре:

$(x^2 + 7x + x + 7)(x^2 + 5x + 3x + 15) + 15$

$(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15$

Мы получили общий член $x^2 + 8x$. Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $y = x^2 + 8x$. Тогда выражение примет вид:

$(y + 7)(y + 15) + 15$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 15y + 7y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем два числа, произведение которых равно 120, а сумма равна 22. Эти числа 10 и 12. Таким образом:

$y^2 + 22y + 120 = (y + 10)(y + 12)$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 + 8x$ вместо $y$:

$(x^2 + 8x + 10)(x^2 + 8x + 12)$

Проверим, можно ли разложить на множители каждый из полученных трехчленов. Для трехчлена $x^2 + 8x + 12$ можно найти два числа, произведение которых равно 12, а сумма -8. Это числа -2 и -6. Следовательно, $x^2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)$. Для трехчлена $x^2 + 8x + 10$ дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24$. Поскольку 24 не является полным квадратом, этот трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

Ответ: $(x + 2)(x + 6)(x^2 + 8x + 10)$

б) Для разложения на множители многочлена $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24$ применим тот же метод группировки. Найдем пары скобок с одинаковой суммой свободных членов: $1 + 4 = 5$ и $2 + 3 = 5$.

Перегруппируем множители:

$[(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24$

Перемножим скобки в парах:

$(x^2 + 4x + x + 4)(x^2 + 3x + 2x + 6) - 24$

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 24$

Введем замену, чтобы упростить выражение. Пусть $z = x^2 + 5x$. Тогда:

$(z + 4)(z + 6) - 24$

Раскроем скобки и упростим:

$z^2 + 6z + 4z + 24 - 24 = z^2 + 10z$

Разложим полученное выражение на множители, вынеся общий множитель $z$ за скобки:

$z(z + 10)$

Выполним обратную замену, подставив $x^2 + 5x$ вместо $z$:

$(x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10)$

Теперь разложим на множители первый множитель $x^2 + 5x = x(x + 5)$. Проверим второй множитель $x^2 + 5x + 10$. Его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не имеет действительных корней и, следовательно, не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение на множители:

Ответ: $x(x + 5)(x^2 + 5x + 10)$