Номер 5.11, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.11. Решите уравнение:

а) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0;$

б) $6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0;$

в) $x^5 - 5x^4 + 6x^3 + 18x^2 - 135x + 243 = 0;$

г) $16x^4 + 8x^3 - 7x^2 + 2x + 1 = 0.$

а) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$:

$x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 1 = 0$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $y = 3$, то $x + \frac{1}{x} = 3$. Умножая на $x$, получаем $x^2 - 3x + 1 = 0$.
   $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
   Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
2. Если $y = -1$, то $x + \frac{1}{x} = -1$. Умножая на $x$, получаем $x^2 + x + 1 = 0$.
   $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
   Дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

а) Ответ: $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б) $6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0$

Это также симметричное уравнение. Так как $x=0$ не корень, делим уравнение на $x^2$:

$6x^2 - 35x + 62 - \frac{35}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$

Группируем: $6(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 35(x + \frac{1}{x}) + 62 = 0$.

Используем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

$6(y^2 - 2) - 35y + 62 = 0$

$6y^2 - 12 - 35y + 62 = 0$

$6y^2 - 35y + 50 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 50 = 1225 - 1200 = 25 = 5^2$.

$y_1 = \frac{35 + 5}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

$y_2 = \frac{35 - 5}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$.
   $D = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
   $x_1 = \frac{10+8}{6} = 3$, $x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
2. $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
   $D = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
   $x_3 = \frac{5+3}{4} = 2$, $x_4 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

б) Ответ: $x_1=3, x_2=\frac{1}{3}, x_3=2, x_4=\frac{1}{2}$.

в) $x^5 - 5x^4 + 6x^3 + 18x^2 - 135x + 243 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни - это делители свободного члена 243: $\pm 1, \pm 3, \pm 9, ...$

Проверим $x=3$: $3^5 - 5 \cdot 3^4 + 6 \cdot 3^3 + 18 \cdot 3^2 - 135 \cdot 3 + 243 = 243 - 405 + 162 + 162 - 405 + 243 = 810 - 810 = 0$. Значит, $x=3$ является корнем. Проверим его кратность, разделив многочлен на $(x-3)$ дважды по схеме Горнера:

$ \begin{array}{c|cccccc} & 1 & -5 & 6 & 18 & -135 & 243 \\ \hline 3 & 1 & -2 & 0 & 18 & -81 & 0 \\ \hline 3 & 1 & 1 & 3 & 27 & 0 & \end{array} $

Так как остаток равен нулю дважды, $x=3$ является корнем кратности не менее 2, и уравнение можно записать в виде $(x-3)^2(x^3 + x^2 + 3x + 27) = 0$.

Теперь решим кубическое уравнение $x^3 + x^2 + 3x + 27 = 0$. Снова ищем рациональные корни среди делителей числа 27. Проверим $x=-3$:

$(-3)^3 + (-3)^2 + 3(-3) + 27 = -27 + 9 - 9 + 27 = 0$.

Значит, $x=-3$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 + x^2 + 3x + 27$ на $(x+3)$:

$(x^3 + 27) + (x^2 + 3x) = (x+3)(x^2-3x+9) + x(x+3) = (x+3)(x^2-3x+9+x) = (x+3)(x^2-2x+9)$.

Исходное уравнение принимает вид: $(x-3)^2(x+3)(x^2 - 2x + 9) = 0$.

Осталось решить уравнение $x^2 - 2x + 9 = 0$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32 < 0$, поэтому действительных корней у этого множителя нет.

в) Ответ: $x_1=3, x_2=-3$.

г) $16x^4 + 8x^3 - 7x^2 + 2x + 1 = 0$

Данное уравнение является обобщенным возвратным уравнением вида $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$, где $e=\lambda^2 a$ и $d=\lambda b$.

Здесь $a=16, b=8, d=2, e=1$. Найдем $\lambda$: $1 = \lambda^2 \cdot 16 \implies \lambda^2 = \frac{1}{16} \implies \lambda = \pm \frac{1}{4}$. Проверим второе условие: $2 = \lambda \cdot 8$. Отсюда $\lambda = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Условия выполняются.

Так как $x=0$ не корень, разделим уравнение на $x^2$: $16x^2 + 8x - 7 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$.

Сгруппируем: $16(x^2 + \frac{1}{16x^2}) + 8(x + \frac{1}{4x}) - 7 = 0$.

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{4x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{4x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4x} + \frac{1}{16x^2} = x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2}$, откуда $x^2+\frac{1}{16x^2} = y^2 - \frac{1}{2}$.

Подставим в уравнение:

$16(y^2 - \frac{1}{2}) + 8y - 7 = 0$

$16y^2 - 8 + 8y - 7 = 0$

$16y^2 + 8y - 15 = 0$

Решим уравнение для $y$: $D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) = 64 + 960 = 1024 = 32^2$.

$y_1 = \frac{-8 + 32}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.

$y_2 = \frac{-8 - 32}{32} = -\frac{40}{32} = -\frac{5}{4}$.

Возвращаемся к $x$:

1. $x + \frac{1}{4x} = \frac{3}{4} \implies 4x^2 - 3x + 1 = 0$. $D = 9 - 16 = -7 < 0$, действительных корней нет.
2. $x + \frac{1}{4x} = -\frac{5}{4} \implies 4x^2 + 5x + 1 = 0$. $D = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
   $x_1 = \frac{-5 - 3}{8} = -1$, $x_2 = \frac{-5 + 3}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

г) Ответ: $x_1=-1, x_2=-\frac{1}{4}$.