Номер 7.24, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.24. Выполняется ли равенство $\sin \alpha = \cos \alpha$ при каком-нибудь $\alpha$? Проиллюстрируйте свое решение с помощью единичной окружности.

Да, данное равенство выполняется при определённых значениях угла $\alpha$. Для их нахождения необходимо решить тригонометрическое уравнение $sin \alpha = cos \alpha$.

Разделим обе части уравнения на $cos \alpha$. Это действие корректно, так как если бы $cos \alpha = 0$, то $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для этих углов $sin \alpha$ принимает значения $1$ или $-1$. Равенство $ \pm 1 = 0$ не является верным, следовательно, случаи, когда $cos \alpha = 0$, не являются решениями уравнения.

После деления получаем:

$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = 1$

Используя тригонометрическое тождество $\tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$, приходим к уравнению:

$\tan \alpha = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$\alpha = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, то искомые значения $\alpha$:

$\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Да, равенство выполняется для всех углов вида $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 1. Координаты $(x, y)$ любой точки на этой окружности, соответствующей углу поворота $\alpha$, равны $x = cos \alpha$ и $y = sin \alpha$.

Следовательно, равенство $sin \alpha = cos \alpha$ означает, что мы ищем на окружности точки, у которых ордината равна абсциссе, то есть точки, удовлетворяющие условию $y = x$.

Геометрически $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Нам нужно найти точки пересечения этой прямой с единичной окружностью, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 1$.

Решим систему уравнений, подставив $y = x$ в уравнение окружности:

$x^2 + (x)^2 = 1$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как $y=x$, мы находим две точки пересечения:

• $P_1$ с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
• $P_2$ с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка расположена в третьей координатной четверти и соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Эти точки диаметрально противоположны, а соответствующие им углы отличаются на $\pi$. Таким образом, все решения можно описать одной формулой $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Иллюстрация на единичной окружности показывает, что равенство выполняется в двух точках пересечения окружности с прямой $y=x$. Эти точки имеют координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и соответствуют углам, которые описываются общей формулой $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.