Номер 7.26, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.26. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если выражение $\sqrt{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}$ имеет смысл?

Для того чтобы выражение $\sqrt{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть:

$\sin\alpha \cdot \cos\alpha \ge 0$

Произведение двух множителей является неотрицательным в том случае, если оба множителя имеют одинаковый знак (либо один из них или оба равны нулю). Это условие приводит к рассмотрению двух возможных случаев.

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

Рассмотрим систему неравенств: $\sin\alpha \ge 0$ и $\cos\alpha \ge 0$.

Функция $\sin\alpha$ неотрицательна в I и II координатных четвертях.

Функция $\cos\alpha$ неотрицательна в I и IV координатных четвертях.

Одновременное выполнение этих условий возможно только для углов $\alpha$, расположенных в I четверти (включая ее границы).

Случай 2: Оба множителя неположительны.

Рассмотрим систему неравенств: $\sin\alpha \le 0$ и $\cos\alpha \le 0$.

Функция $\sin\alpha$ неположительна в III и IV координатных четвертях.

Функция $\cos\alpha$ неположительна во II и III координатных четвертях.

Одновременное выполнение этих условий возможно только для углов $\alpha$, расположенных в III четверти (включая ее границы).

Таким образом, выражение имеет смысл для углов, принадлежащих I и III координатным четвертям.

Ответ: I или III четверть.