Номер 7.27, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.27. Определите, существует ли такое действительное число x, для которого выполняются условия $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и:

а) $x \in [\pi; 2\pi]$;

б) $x \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ .

Чтобы определить, существует ли такое действительное число $x$, нужно сначала найти общее решение тригонометрического уравнения $cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а затем проверить, попадают ли полученные корни в указанные промежутки.

Общее решение уравнения $cos(x) = a$ дается формулой $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Для нашего уравнения $cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, имеем $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, все решения уравнения можно записать в виде двух серий:
1. $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
2. $x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

а) $x \in [\pi; 2\pi]$
Теперь проверим, есть ли среди этих решений такие, которые принадлежат отрезку $[\pi; 2\pi]$.
Рассмотрим первую серию корней $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток $[\pi; 2\pi]$, так как $\frac{\pi}{6} < \pi$.
- при $n=1$, $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Это значение также не входит в промежуток, так как $\frac{13\pi}{6} > 2\pi$.
Рассмотрим вторую серию корней $x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
- при $n=0$, $x_2 = -\frac{\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток.
- при $n=1$, $x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{- \pi + 12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$. Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[\pi; 2\pi]$. Так как $\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, то неравенство $\frac{6\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6} \le \frac{12\pi}{6}$ является верным. Следовательно, $x = \frac{11\pi}{6}$ является решением, удовлетворяющим условию.
Таким образом, действительное число $x$, удовлетворяющее заданным условиям, существует.
Ответ: Да.

б) $x \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$
Проверим принадлежность решений промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Этот промежуток соответствует второй и третьей четвертям единичной окружности. Для любого угла $x$ из этого промежутка значение косинуса является неположительным, то есть $cos(x) \le 0$.
В условии задачи дано, что $cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, то не существует такого $x$ в промежутке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, для которого бы выполнялось это равенство.
Ответ: Нет.