Номер 8.20, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.20. Определите, существует ли такое действительное число $x$, для которого выполняются условия $tgx = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и:

a) $x \in [-\pi; -\frac{\pi}{2}]$;

б) $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это известное табличное значение, которое соответствует углу $\frac{\pi}{6}$.

Общая формула для решений уравнения $\tg x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, все действительные числа $x$, удовлетворяющие нашему уравнению, задаются формулой: $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо проверить, существуют ли для каждого из данных промежутков такие целые числа $k$, при которых значение $x$ будет принадлежать этому промежутку.

а) $x \in [-\pi; -\frac{\pi}{2}]$

Определим, существует ли такое целое $k$, для которого выполняется двойное неравенство:

$-\pi \le \frac{\pi}{6} + k\pi \le -\frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на положительное число $\pi$:

$-1 \le \frac{1}{6} + k \le -\frac{1}{2}$

Теперь вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{1}{6} \le k \le -\frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

$-\frac{6}{6} - \frac{1}{6} \le k \le -\frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$-\frac{7}{6} \le k \le -\frac{4}{6}$

Упростив, получаем: $-\frac{7}{6} \le k \le -\frac{2}{3}$.

Единственное целое число $k$, которое находится в этом интервале, это $k = -1$.

Так как мы нашли подходящее целое значение $k$, то соответствующее действительное число $x$ существует. Найдем его, подставив $k = -1$ в общую формулу решения:

$x = \frac{\pi}{6} + (-1) \cdot \pi = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Это число действительно принадлежит отрезку $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$, так как $-\pi = -\frac{6\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6}$, а неравенство $-\frac{6\pi}{6} \le -\frac{5\pi}{6} \le -\frac{3\pi}{6}$ верно.

Ответ: да, существует.

б) $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$

Рассмотрим заданный промежуток. Он соответствует второй координатной четверти на тригонометрической окружности (включая граничные точки).

Для любого угла $x$ из интервала $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ значение $\sin x$ положительно, а $\cos x$ отрицательно. Следовательно, их отношение, тангенс $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, будет отрицательным.

На границах промежутка: в точке $x = \frac{\pi}{2}$ тангенс не определен, а в точке $x = \pi$ значение тангенса равно нулю ($\tg \pi = 0$).

Таким образом, для любого действительного числа $x$ из промежутка $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ (для которого тангенс определен) выполняется условие $\tg x \le 0$.

В условии задачи дано равенство $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{3}$ является положительным числом, то оно не может быть равным отрицательному числу или нулю. Следовательно, на указанном промежутке не существует такого числа $x$.

Ответ: нет, не существует.