Номер 9.25, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.25. Определите, какие из следующих равенств верны при всех $x \in \mathbb{R}$:

a) $\sin^2 5x + \cos^2 5x = 5$;

б) $\sin^2 \frac{x}{5} + \cos^2 \frac{x}{5} = \frac{1}{5}$;

в) $\sin^2 \frac{x}{5} + \cos^2 \frac{x}{5} = 1$;

г) $\sin^2 5x + \cos^2 5x = 1$.

Для решения этой задачи используется основное тригонометрическое тождество, которое гласит, что для любого угла $ \alpha $ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Это тождество справедливо для любого действительного значения угла, независимо от того, как он выражен (например, $ 5x $ или $ \frac{x}{5} $).

а) $ \sin^2 5x + \cos^2 5x = 5 $
В данном равенстве угол $ \alpha = 5x $. Согласно основному тригонометрическому тождеству, левая часть всегда равна 1: $ \sin^2 5x + \cos^2 5x = 1 $. Поскольку $ 1 \neq 5 $, данное равенство не является верным ни при каком значении $ x $.
Ответ: неверно.

б) $ \sin^2\frac{x}{5} + \cos^2\frac{x}{5} = \frac{1}{5} $
Здесь угол $ \alpha = \frac{x}{5} $. По основному тригонометрическому тождеству, левая часть выражения равна 1: $ \sin^2\frac{x}{5} + \cos^2\frac{x}{5} = 1 $. Так как $ 1 \neq \frac{1}{5} $, это равенство также неверно.
Ответ: неверно.

в) $ \sin^2\frac{x}{5} + \cos^2\frac{x}{5} = 1 $
В этом случае угол $ \alpha = \frac{x}{5} $. Равенство в точности повторяет основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Оно справедливо для любого угла, а значит, и для $ \frac{x}{5} $ при любом $ x \in \mathbb{R} $.
Ответ: верно.

г) $ \sin^2 5x + \cos^2 5x = 1 $
Здесь угол $ \alpha = 5x $. Это равенство также является прямым применением основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Оно верно для любого угла, включая $ 5x $, при любом $ x \in \mathbb{R} $.
Ответ: верно.