Номер 9.27, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.27. Постройте график функции

$y=-5\sin^2(\sqrt{x^2-3x+2})-5\cos^2(\sqrt{x^2-3x+2}).$

Для построения графика функции необходимо сначала упростить ее выражение, а затем найти область определения.

1. Упрощение функции:

Дана функция $y = -5\sin^2(\sqrt{x^2 - 3x + 2}) - 5\cos^2(\sqrt{x^2 - 3x + 2})$.

Вынесем общий множитель $-5$ за скобки:

$y = -5(\sin^2(\sqrt{x^2 - 3x + 2}) + \cos^2(\sqrt{x^2 - 3x + 2}))$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В данном случае $\alpha = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$.

Подставив 1 вместо выражения в скобках, получаем:

Ответ: $y = -5 \cdot 1 = -5$.

2. Нахождение области определения функции (ОДЗ):

Исходная функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Графиком квадратичной функции $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, функция принимает неотрицательные значения при $x \le 1$ и при $x \ge 2$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

3. Построение графика:

Мы выяснили, что на всей своей области определения функция равна константе $y = -5$.

Следовательно, график функции — это прямая $y = -5$, но только для тех значений $x$, которые принадлежат области определения, то есть для $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

График будет состоять из двух лучей:

• один луч начинается в точке $(1, -5)$ и идет влево;
• второй луч начинается в точке $(2, -5)$ и идет вправо.

Точки $(1, -5)$ и $(2, -5)$ принадлежат графику, так как являются граничными точками области определения.

Ниже представлен график функции:

Ответ: График функции представляет собой объединение двух лучей, лежащих на прямой $y=-5$, с началом в точках $(1, -5)$ и $(2, -5)$.