Номер 12.18, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.18. Постройте график функции:

а) $y = \arccos(|x|);$

б) $y = |\operatorname{arctg}x|;$

в) $y = \left|\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}x\right|;$

г) $y = |\arcsin(x + 1)|.$

а) $y = \arccos(|x|)$

Для построения графика функции $y = \arccos(|x|)$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \arccos(x)$. Область определения этой функции $D(y_1) = [-1, 1]$, область значений $R(y_1) = [0, \pi]$.

2. Заданная функция $y = \arccos(|x|)$ является четной, так как $y(-x) = \arccos(|-x|) = \arccos(|x|) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Для построения графика $y = f(|x|)$ нужно:

a) Построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.

b) Отразить полученную часть графика симметрично относительно оси OY.

4. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому функция принимает вид $y = \arccos(x)$. Строим эту часть графика на промежутке $[0, 1]$. Это дуга, идущая от точки $(0, \pi/2)$ до точки $(1, 0)$.

5. Затем отражаем эту дугу симметрично относительно оси OY. Получаем вторую часть графика на промежутке $[-1, 0]$, которая идет от точки $(-1, 0)$ до точки $(0, \pi/2)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, симметричную относительно оси OY, определенную на отрезке $x \in [-1, 1]$. Область значений функции – отрезок $y \in [0, \pi/2]$. Ключевые точки графика: $(-1, 0)$, $(0, \pi/2)$, $(1, 0)$.

б) $y = |\arctan(x)|$

Для построения графика функции $y = |\arctan(x)|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \arctan(x)$. Область определения $D(y_1) = (-\infty, +\infty)$, область значений $R(y_1) = (-\pi/2, \pi/2)$. Горизонтальные асимптоты: $y = \pi/2$ при $x \to +\infty$ и $y = -\pi/2$ при $x \to -\infty$.

2. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика $y = f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс (оси OX), отражается симметрично относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси, остается без изменений.

3. Для $x \ge 0$, значения функции $\arctan(x) \ge 0$. Поэтому на промежутке $[0, +\infty)$ график $y = |\arctan(x)|$ совпадает с графиком $y = \arctan(x)$. Это ветвь, выходящая из точки $(0, 0)$ и асимптотически приближающаяся к прямой $y = \pi/2$.

4. Для $x < 0$, значения функции $\arctan(x) < 0$. Поэтому на промежутке $(-\infty, 0)$ часть графика $y = \arctan(x)$ отражается симметрично относительно оси OX. Ветвь, которая уходила к асимптоте $y = -\pi/2$, теперь будет выходить из точки $(0, 0)$ и асимптотически приближаться к прямой $y = \pi/2$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, область значений $y \in [0, \pi/2)$. Функция имеет одну горизонтальную асимптоту $y = \pi/2$ при $x \to \pm\infty$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.

в) $y = |\frac{1}{2}\text{arccot}(x)|$

Построение графика функции $y = |\frac{1}{2}\text{arccot}(x)|$ включает два преобразования.

1. Сначала рассмотрим график функции $y_1 = \text{arccot}(x)$. Область определения $D(y_1) = (-\infty, +\infty)$, область значений $R(y_1) = (0, \pi)$. Горизонтальные асимптоты: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

2. Первое преобразование — это сжатие графика $y_1 = \text{arccot}(x)$ вдоль оси OY в 2 раза. Получаем график функции $y_2 = \frac{1}{2}\text{arccot}(x)$. Область значений этой функции будет $(0, \pi/2)$. Асимптота $y=\pi$ превратится в асимптоту $y=\pi/2$, а асимптота $y=0$ останется на месте.

3. Второе преобразование — взятие модуля: $y = |y_2| = |\frac{1}{2}\text{arccot}(x)|$. Поскольку область значений функции $y_2 = \frac{1}{2}\text{arccot}(x)$ это интервал $(0, \pi/2)$, все её значения уже положительны. Следовательно, взятие модуля не изменяет график функции.

4. Таким образом, график функции $y = |\frac{1}{2}\text{arccot}(x)|$ совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{2}\text{arccot}(x)$.

Ответ: График функции является монотонно убывающей кривой. Область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, область значений $y \in (0, \pi/2)$. Горизонтальные асимптоты: $y = \pi/2$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

г) $y = |\arcsin(x + 1)|$

Построение графика функции $y = |\arcsin(x + 1)|$ выполним в несколько шагов.

1. Построим график базовой функции $y_1 = \arcsin(x)$. Область определения $D(y_1) = [-1, 1]$, область значений $R(y_1) = [-\pi/2, \pi/2]$.

2. Первое преобразование — сдвиг графика $y_1 = \arcsin(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси OX. Получаем график функции $y_2 = \arcsin(x+1)$. Область определения изменится: $-1 \le x+1 \le 1$, что дает $-2 \le x \le 0$. Область значений остается прежней: $[-\pi/2, \pi/2]$. График проходит через точки $(-2, -\pi/2)$, $(-1, 0)$ и $(0, \pi/2)$.

3. Второе преобразование — взятие модуля: $y = |y_2| = |\arcsin(x+1)|$. Часть графика, лежащую под осью OX, нужно отразить вверх.

4. Функция $y_2 = \arcsin(x+1)$ принимает отрицательные значения, когда ее аргумент отрицателен, т.е. $x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$. На промежутке $[-2, -1)$ график $y_2$ лежит ниже оси OX. Отражаем эту часть симметрично относительно оси OX. Дуга, идущая из точки $(-2, -\pi/2)$ в точку $(-1, 0)$, превращается в дугу из точки $(-2, \pi/2)$ в точку $(-1, 0)$.

5. Функция $y_2$ принимает неотрицательные значения при $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. На промежутке $[-1, 0]$ график $y_2$ лежит выше или на оси OX, поэтому он остается без изменений. Это дуга, идущая из точки $(-1, 0)$ в точку $(0, \pi/2)$.

Ответ: График функции определен на отрезке $x \in [-2, 0]$. Область значений $y \in [0, \pi/2]$. График состоит из двух дуг, образующих "галочку" с вершиной в точке $(-1, 0)$. Левая дуга идет из точки $(-2, \pi/2)$ в $(-1, 0)$, правая — из $(-1, 0)$ в $(0, \pi/2)$.