Номер 13.3, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.3. Найдите сумму корней уравнения $\cos\left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = -1$, принадлежащих промежутку $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для решения данной задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\cos(7x + \frac{\pi}{6}) = -1$.

Уравнение вида $\cos(\alpha) = -1$ является частным случаем и его решение записывается как $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем уравнении аргумент косинуса $\alpha = 7x + \frac{\pi}{6}$. Подставим его в общую формулу решения:

$7x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k$

Далее, выразим переменную $x$:

$7x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$7x = \frac{6\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$7x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{5\pi}{42} + \frac{2\pi k}{7}$

Теперь нам необходимо отобрать те корни, которые принадлежат заданному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{42} + \frac{2\pi k}{7} < \frac{\pi}{2}$

Чтобы упростить неравенство, разделим все его части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{5}{42} + \frac{2k}{7} < \frac{1}{2}$

Вычтем из всех частей $\frac{5}{42}$:

$-\frac{1}{2} - \frac{5}{42} < \frac{2k}{7} < \frac{1}{2} - \frac{5}{42}$

Приведем дроби к общему знаменателю 42:

$-\frac{21}{42} - \frac{5}{42} < \frac{2k}{7} < \frac{21}{42} - \frac{5}{42}$

$-\frac{26}{42} < \frac{2k}{7} < \frac{16}{42}$

Сократим дроби:

$-\frac{13}{21} < \frac{2k}{7} < \frac{8}{21}$

Чтобы найти границы для $k$, умножим все части на $\frac{7}{2}$:

$-\frac{13}{21} \cdot \frac{7}{2} < k < \frac{8}{21} \cdot \frac{7}{2}$

$-\frac{13}{3} < k < \frac{4}{3}$

Запишем границы в виде десятичных дробей для наглядности: $-2.166... < k < 1.333...$

Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому неравенству: $k = -2, -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $x$ (корни уравнения) для каждого из этих значений $k$:

При $k = -2$: $x_1 = \frac{5\pi}{42} + \frac{2\pi(-2)}{7} = \frac{5\pi - 24\pi}{42} = -\frac{19\pi}{42}$

При $k = -1$: $x_2 = \frac{5\pi}{42} + \frac{2\pi(-1)}{7} = \frac{5\pi - 12\pi}{42} = -\frac{7\pi}{42} = -\frac{\pi}{6}$

При $k = 0$: $x_3 = \frac{5\pi}{42} + \frac{2\pi(0)}{7} = \frac{5\pi}{42}$

При $k = 1$: $x_4 = \frac{5\pi}{42} + \frac{2\pi(1)}{7} = \frac{5\pi + 12\pi}{42} = \frac{17\pi}{42}$

Все четыре корня принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Последним шагом найдем сумму этих корней:

$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{19\pi}{42} - \frac{7\pi}{42} + \frac{5\pi}{42} + \frac{17\pi}{42}$

$S = \frac{-19\pi - 7\pi + 5\pi + 17\pi}{42} = \frac{-26\pi + 22\pi}{42} = \frac{-4\pi}{42} = -\frac{2\pi}{21}$

13.3. Ответ: $-\frac{2\pi}{21}$