Номер 12.17, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.17. Найдите значение выражения:

a) $ \arccos(\cos 5); $

б) $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 3); $

в) $ \arccos(\cos 6); $

г) $ \arcsin(\sin 5). $

Для решения данных задач необходимо знать области значений обратных тригонометрических функций и свойства тригонометрических функций (периодичность, формулы приведения).

• Область значений $y = \arccos(x)$ это отрезок $[0, \pi]$.
• Область значений $y = \operatorname{arctg}(x)$ это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• Область значений $y = \arcsin(x)$ это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Во всех заданиях аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

а) $\arccos(\cos 5)$

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$, то есть примерно $[0, 3.14]$. Число 5 не входит в этот отрезок. Нам необходимо найти такое число $y \in [0, \pi]$, для которого $\cos(y) = \cos(5)$. Воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$, которая верна для любого $x$. Тогда $\cos(5) = \cos(2\pi - 5)$. Проверим, принадлежит ли значение $2\pi - 5$ отрезку $[0, \pi]$. $2\pi - 5 \approx 2 \cdot 3.14159 - 5 = 6.28318 - 5 = 1.28318$. Поскольку $0 \le 1.28318 \le \pi$, то значение $2\pi - 5$ входит в область значений арккосинуса. Следовательно, $\arccos(\cos 5) = 2\pi - 5$.
Ответ: $2\pi - 5$.

б) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 3)$

Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то есть примерно $(-1.57, 1.57)$. Число 3 не входит в этот интервал. Нам необходимо найти такое число $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(3)$. Воспользуемся свойством периодичности тангенса: $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x - \pi)$. Тогда $\operatorname{tg}(3) = \operatorname{tg}(3 - \pi)$. Проверим, принадлежит ли значение $3 - \pi$ интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. $3 - \pi \approx 3 - 3.14159 = -0.14159$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} < -0.14159 < \frac{\pi}{2}$, то значение $3 - \pi$ входит в область значений арктангенса. Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 3) = 3 - \pi$.
Ответ: $3 - \pi$.

в) $\arccos(\cos 6)$

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$. Число 6 не входит в этот отрезок. Нам необходимо найти такое число $y \in [0, \pi]$, для которого $\cos(y) = \cos(6)$. Как и в пункте а), воспользуемся формулой $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$. Тогда $\cos(6) = \cos(2\pi - 6)$. Проверим, принадлежит ли значение $2\pi - 6$ отрезку $[0, \pi]$. $2\pi - 6 \approx 2 \cdot 3.14159 - 6 = 6.28318 - 6 = 0.28318$. Поскольку $0 \le 0.28318 \le \pi$, то значение $2\pi - 6$ входит в область значений арккосинуса. Следовательно, $\arccos(\cos 6) = 2\pi - 6$.
Ответ: $2\pi - 6$.

г) $\arcsin(\sin 5)$

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то есть примерно $[-1.57, 1.57]$. Число 5 не входит в этот отрезок. Нам необходимо найти такое число $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(y) = \sin(5)$. Воспользуемся свойством периодичности синуса: $\sin(x) = \sin(x - 2\pi)$. Тогда $\sin(5) = \sin(5 - 2\pi)$. Проверим, принадлежит ли значение $5 - 2\pi$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. $5 - 2\pi \approx 5 - 2 \cdot 3.14159 = 5 - 6.28318 = -1.28318$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le -1.28318 \le \frac{\pi}{2}$, то значение $5 - 2\pi$ входит в область значений арксинуса. Следовательно, $\arcsin(\sin 5) = 5 - 2\pi$.
Ответ: $5 - 2\pi$.