Номер 13.15, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.15. Решите уравнение $4\cos^3 x - \cos x + \sin x = 0$.

Исходное уравнение: $4\cos^3 x - \cos x + \sin x = 0$.

Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, то уравнение принимает вид $0 - 0 + \sin x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как основное тригонометрическое тождество гласит $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^3 x$:

После упрощения получаем:

Используя тождества $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$, преобразуем уравнение:

Введем замену $t = \tan x$:

Приведем уравнение к стандартному виду:

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа 3), то есть среди $\pm 1, \pm 3$.

Подставим $t = -1$:

Так как получилось верное равенство, $t = -1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $t^3 - t^2 + t + 3$ на двучлен $(t+1)$:

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

Это равенство выполняется, если $t+1=0$ или $t^2 - 2t + 3 = 0$.

Первое уравнение дает корень $t = -1$.

Решим второе уравнение $t^2 - 2t + 3 = 0$. Найдем его дискриминант:

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $t^2 - 2t + 3 = 0$ не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным действительным решением для $t$ является $t=-1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

Решения этого уравнения имеют вид:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.