Номер 13.19, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.19. Решите уравнение:

а) $\frac{\cos^2 x - \cos x}{1 - \sin x} = 0;$

б) $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x;$

в) $\frac{2\cos x + \sqrt{3}}{2\sin x - 1} = 0.$

а) Данное уравнение $\frac{\cos^2 x - \cos x}{1 - \sin x} = 0$ равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
$ \begin{cases} \cos^2 x - \cos x = 0 \\ 1 - \sin x \neq 0 \end{cases} $
Решаем первое уравнение: $\cos x (\cos x - 1) = 0$. Оно распадается на два уравнения: $\cos x = 0$ или $\cos x = 1$.
1. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверяем выполнение условия $1 - \sin x \neq 0$, то есть $\sin x \neq 1$.
Для серии $x = 2\pi k$ имеем $\sin(2\pi k) = 0$, что удовлетворяет условию $0 \neq 1$. Значит, эта серия корней подходит.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ рассмотрим два случая:
- при четных $n=2m$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$. Тогда $\sin x = 1$. Эти корни не подходят, так как знаменатель обращается в ноль.
- при нечетных $n=2m+1$, $x = \frac{\pi}{2} + (2m+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$. Тогда $\sin x = -1$. Эти корни подходят, так как $-1 \neq 1$. Эту серию можно записать как $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, получаем две серии решений.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1 + \cos x \neq 0$, откуда $\cos x \neq -1$, то есть $x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части уравнения на $1 + \cos x$:
$\sin x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$
$\sin x = 1 - \cos^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменяем $1 - \cos^2 x$ на $\sin^2 x$:
$\sin x = \sin^2 x$
$\sin^2 x - \sin x = 0$
$\sin x (\sin x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два: $\sin x = 0$ или $\sin x = 1$.
1. Если $\sin x = 0$, то $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим найденные решения с учетом ОДЗ ($\cos x \neq -1$).
Для серии $x = \pi k$:
- при четных $k=2j$, $x = 2\pi j$. Тогда $\cos x = \cos(2\pi j) = 1$. Эти корни подходят, так как $1 \neq -1$.
- при нечетных $k=2j+1$, $x = \pi + 2\pi j$. Тогда $\cos x = \cos(\pi + 2\pi j) = -1$. Эти корни не входят в ОДЗ и являются посторонними.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, имеем $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Эти корни подходят, так как $0 \neq -1$.
Объединяем подходящие решения.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

в) Уравнение $\frac{2\cos x + \sqrt{3}}{2\sin x - 1} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 2\cos x + \sqrt{3} = 0, \\ 2\sin x - 1 \neq 0. \end{cases} $
Решаем первое уравнение:
$2\cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Получаем две серии корней:
1. $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения по второму условию системы: $2\sin x - 1 \neq 0$, то есть $\sin x \neq \frac{1}{2}$.
- Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, находим $\sin x = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Эти корни не удовлетворяют условию $\sin x \neq \frac{1}{2}$, поэтому они являются посторонними.
- Для серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, находим $\sin x = \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Эти корни удовлетворяют условию, так как $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$.
Следовательно, решением является только вторая серия.
Ответ: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.