Номер 13.24, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.24. Найдите число корней уравнения $1+2\sin x|\cos x|=0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.

13.24.Для решения уравнения $1 + 2\sin x|\cos x| = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ необходимо рассмотреть знак выражения под модулем.

На заданном промежутке $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, косинус принимает неотрицательные значения, то есть $\cos x \ge 0$. Следовательно, модуль $|\cos x|$ можно раскрыть как $\cos x$.

Уравнение принимает вид:

$1 + 2\sin x \cos x = 0$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:

$1 + \sin(2x) = 0$

Отсюда:

$\sin(2x) = -1$

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Разделив обе части на 2, найдем $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти те значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{4} \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{\pi}{2}$

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \le \pi k \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$

$0 \le \pi k \le \frac{3\pi}{4}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):

$0 \le k \le \frac{3}{4}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=0$.

Подставим $k=0$ в формулу для корней:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$

Этот корень $x = -\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.

Таким образом, на указанном промежутке уравнение имеет ровно один корень. Ответ: 1