Номер 13.29, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.29. Найдите произведение корней уравнения $ \sin \frac{\pi(x^2 + 1)}{7+x^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Данное уравнение является тригонометрическим: $sin(\frac{\pi(x^2 + 1)}{7 + x^2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для того чтобы решить это уравнение, сначала проанализируем его аргумент. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $t \ge 0$.

Аргумент функции синус теперь можно записать как функцию от $t$: $A(t) = \frac{\pi(t + 1)}{7 + t}$. Найдем область значений этой функции при $t \ge 0$.

Рассмотрим выражение $f(t) = \frac{t + 1}{7 + t}$. Чтобы определить его область значений, выделим целую часть:

$f(t) = \frac{(t + 7) - 6}{7 + t} = \frac{t+7}{7+t} - \frac{6}{7 + t} = 1 - \frac{6}{7 + t}$.

Проанализируем поведение функции $f(t)$ на промежутке $t \ge 0$:

• При $t=0$ (минимальное значение $t$), функция $f(t)$ принимает значение $f(0) = 1 - \frac{6}{7+0} = \frac{1}{7}$.
• При увеличении $t$, знаменатель $7+t$ растет, дробь $\frac{6}{7+t}$ уменьшается, а значит, значение $f(t)$ увеличивается.
• Когда $t$ стремится к бесконечности ($t \to \infty$), дробь $\frac{6}{7+t}$ стремится к нулю, и $f(t)$ стремится к $1$.

Таким образом, область значений функции $f(t)$ при $t \ge 0$ — это полуинтервал $[\frac{1}{7}, 1)$.

Соответственно, область значений аргумента синуса $A(t) = \pi \cdot f(t)$ — это полуинтервал $[\frac{\pi}{7}, \pi)$.

Теперь решим основное тригонометрическое уравнение $sin(A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение для $A$ дается двумя сериями:

$A = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $A = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Нам необходимо найти те значения $A$ из этих серий, которые попадают в найденную область значений $[\frac{\pi}{7}, \pi)$.

1. Рассмотрим первую серию решений: $A = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Подставим это в неравенство $\frac{\pi}{7} \le A < \pi$:

$\frac{\pi}{7} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$: $\frac{1}{7} \le \frac{1}{4} + 2n < 1$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $\frac{1}{7} - \frac{1}{4} \le 2n < 1 - \frac{1}{4}$.

Приведем к общему знаменателю: $-\frac{3}{28} \le 2n < \frac{3}{4}$.

Разделим на 2: $-\frac{3}{56} \le n < \frac{3}{8}$.

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому двойному неравенству, — это $n=0$. Значит, из этой серии нам подходит только одно значение аргумента: $A_1 = \frac{\pi}{4}$.

2. Рассмотрим вторую серию решений: $A = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Подставим в то же неравенство $\frac{\pi}{7} \le A < \pi$:

$\frac{\pi}{7} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \pi$.

Разделим на $\pi$: $\frac{1}{7} \le \frac{3}{4} + 2n < 1$.

Вычтем $\frac{3}{4}$: $\frac{1}{7} - \frac{3}{4} \le 2n < 1 - \frac{3}{4}$.

Приведем к общему знаменателю: $-\frac{17}{28} \le 2n < \frac{1}{4}$.

Разделим на 2: $-\frac{17}{56} \le n < \frac{1}{8}$.

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это также $n=0$. Отсюда получаем второе подходящее значение аргумента: $A_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Итак, исходное уравнение сводится к решению двух независимых уравнений:

а) $\frac{\pi(x^2 + 1)}{7 + x^2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{x^2 + 1}{7 + x^2} = \frac{1}{4}$

$4(x^2 + 1) = 1(7 + x^2)$

$4x^2 + 4 = 7 + x^2$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$, откуда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

б) $\frac{\pi(x^2 + 1)}{7 + x^2} = \frac{3\pi}{4}$

$\frac{x^2 + 1}{7 + x^2} = \frac{3}{4}$

$4(x^2 + 1) = 3(7 + x^2)$

$4x^2 + 4 = 21 + 3x^2$

$x^2 = 17$, откуда получаем еще два корня: $x_3 = \sqrt{17}$ и $x_4 = -\sqrt{17}$.

Мы нашли все четыре корня уравнения: $1, -1, \sqrt{17}, -\sqrt{17}$.

Теперь найдем их произведение:

$1 \cdot (-1) \cdot \sqrt{17} \cdot (-\sqrt{17}) = -1 \cdot (-17) = 17$.

Найдите произведение корней уравнения: Ответ: 17