Номер 13.30, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.30. Найдите наименьшее целое положительное число, принадлежащее области определения функции $f(x) = \sqrt{\cos^2 \frac{\pi x}{12} - \sin^2 \frac{\pi x}{12} - 1}$.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\cos^2 \frac{\pi x}{12} - \sin^2 \frac{\pi x}{12} - 1}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\cos^2 \frac{\pi x}{12} - \sin^2 \frac{\pi x}{12} - 1 \ge 0$

Для упрощения подкоренного выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{\pi x}{12}$. Применяя формулу, получаем:

$\cos^2 \frac{\pi x}{12} - \sin^2 \frac{\pi x}{12} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi x}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi x}{6}\right)$

Теперь неравенство для области определения принимает вид:

$\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right) - 1 \ge 0$

$\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right) \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, значение $\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right)$ не может быть больше 1. Единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это равенство:

$\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right) = 1$

Это уравнение справедливо, когда аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$\frac{\pi x}{6} = 2\pi k$

Выразим $x$ из этого уравнения, разделив обе части на $\pi$ и умножив на 6:

$x = 12k$

По условию задачи, нам нужно найти наименьшее целое положительное число $x$. Это означает, что $x > 0$.

$12k > 0 \implies k > 0$

Так как $k$ — целое число, наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее условию $k > 0$, это $k = 1$.

Подставляем $k=1$ в выражение для $x$, чтобы найти искомое число:

$x = 12 \cdot 1 = 12$

13.30. Ответ: 12