Номер 14.6, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.6. Найдите значение выражения:

а) $\cos(\pi + \arcsin\frac{4}{9});$

б) $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \arccos0,6);$

в) $5\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}(-\frac{1}{7})).$

а) Для решения используем формулу приведения для косинуса: $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.

Тогда исходное выражение принимает вид: $cos(\pi + \arcsin\frac{4}{9}) = -cos(\arcsin\frac{4}{9})$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{9}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin\alpha = \frac{4}{9}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как $\frac{4}{9} > 0$, то $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$, и в этом промежутке косинус неотрицателен.

Найдем $cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{4}{9})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{81}} = \sqrt{\frac{81 - 16}{81}} = \sqrt{\frac{65}{81}} = \frac{\sqrt{65}}{9}$.

Таким образом, $-cos(\arcsin\frac{4}{9}) = -\frac{\sqrt{65}}{9}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{65}}{9}$.

б) Для решения используем формулу приведения для тангенса: $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$.

Тогда исходное выражение принимает вид: $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \arccos0,6) = \operatorname{ctg}(\arccos0,6)$.

Пусть $\alpha = \arccos0,6$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos\alpha = 0,6 = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Так как $0,6 > 0$, то $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$, и в этом промежутке синус неотрицателен.

Для нахождения котангенса нам нужен синус. Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь можем найти котангенс: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Сначала упростим аргумент синуса, используя свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.

$5\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}(-\frac{1}{7})) = 5\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{2} - (-\operatorname{arctg}\frac{1}{7})) = 5\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg}\frac{1}{7})$.

Далее используем формулу приведения для синуса: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$.

Выражение принимает вид: $5\sqrt{2}\cos(\operatorname{arctg}\frac{1}{7})$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{7}$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{7}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как $\frac{1}{7} > 0$, то $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$, и в этом промежутке косинус положителен.

Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (\frac{1}{7})^2 = 1 + \frac{1}{49} = \frac{50}{49}$.

Отсюда $\cos^2\alpha = \frac{49}{50}$, и, так как косинус положителен, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}$.

Подставим найденное значение в исходное выражение:

$5\sqrt{2} \cdot \cos\alpha = 5\sqrt{2} \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}} = 7$.

Ответ: $7$.