Номер 14.4, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.4. Найдите значение выражения

$- \cos \left(\frac{27 \pi}{2} + \alpha\right) + \sin(-21 \pi - \alpha), $

если $\sin \alpha = -0,1$.

Для нахождения значения выражения необходимо последовательно упростить каждое слагаемое, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

1. Упростим первое слагаемое: $-\cos(\frac{27\pi}{2} + \alpha)$.

Используем периодичность функции косинуса, период которой равен $2\pi$. Представим угол $\frac{27\pi}{2}$ в виде смешанной дроби: $\frac{27\pi}{2} = 13\frac{1}{2}\pi = 12\pi + \frac{3\pi}{2}$. Отбрасывая целое число полных оборотов ($12\pi = 6 \cdot 2\pi$), получаем:

$\cos(\frac{27\pi}{2} + \alpha) = \cos(12\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

Применим формулу приведения. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где косинус положителен. При использовании углов $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию (косинус на синус).

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$.

Следовательно, первое слагаемое исходного выражения равно $-\sin(\alpha)$.

2. Упростим второе слагаемое: $\sin(-21\pi - \alpha)$.

Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$\sin(-21\pi - \alpha) = -\sin(21\pi + \alpha)$.

Используем периодичность функции синуса, период которой равен $2\pi$. Представим $21\pi = 20\pi + \pi$. Отбрасывая целое число полных оборотов ($20\pi = 10 \cdot 2\pi$), получаем:

$-\sin(21\pi + \alpha) = -\sin(20\pi + \pi + \alpha) = -\sin(\pi + \alpha)$.

Применим формулу приведения. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти, где синус отрицателен. При использовании угла $\pi$ функция не меняется.

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Следовательно, второе слагаемое исходного выражения равно $-(-\sin(\alpha)) = \sin(\alpha)$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$-\cos(\frac{27\pi}{2} + \alpha) + \sin(-21\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) + \sin(\alpha) = 0$.

Результат не зависит от значения $\sin(\alpha)$, поэтому информация о том, что $\sin(\alpha) = -0,1$, является избыточной для решения.

14.4. Ответ: 0