Номер 14.15, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.15. Найдите (в градусах) значение угла $\operatorname{arcctg}(\operatorname{tg} 658^{\circ})$.

14.15. Для нахождения значения выражения $arcctg(\tg(658^\circ))$ необходимо привести его к виду $arcctg(\ctg(\alpha))$, где угол $\alpha$ принадлежит области значений арккотангенса, то есть $\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$.

Сначала воспользуемся периодичностью тангенса. Период тангенса равен $180^\circ$, поэтому мы можем найти эквивалентный угол для $658^\circ$:

$658^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 118^\circ = 540^\circ + 118^\circ$

Следовательно, $\tg(658^\circ) = \tg(118^\circ)$.

Теперь выражение выглядит так: $arcctg(\tg(118^\circ))$.

Далее, используем формулу приведения, чтобы перейти от тангенса к котангенсу: $\tg(\alpha) = \ctg(90^\circ - \alpha)$.

$\tg(118^\circ) = \ctg(90^\circ - 118^\circ) = \ctg(-28^\circ)$.

Выражение принимает вид $arcctg(\ctg(-28^\circ))$.

Искомое значение — это угол $\beta$, такой что $\ctg(\beta) = \ctg(-28^\circ)$ и $0^\circ < \beta < 180^\circ$.

Угол $-28^\circ$ не входит в область значений арккотангенса. Используем периодичность котангенса (период $180^\circ$), чтобы найти подходящий угол:

$\ctg(-28^\circ) = \ctg(-28^\circ + 180^\circ) = \ctg(152^\circ)$.

Угол $152^\circ$ принадлежит интервалу $(0^\circ; 180^\circ)$, поэтому он и является искомым значением. Таким образом, $arcctg(\tg(658^\circ)) = 152^\circ$. Ответ: 152.