Номер 16.7, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.7. Найдите $tg\alpha$, если $tg2\alpha = 2$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$$ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}(\alpha)}{1 - \text{tg}^2(\alpha)} $$

Согласно условию, $\text{tg}(2\alpha) = 2$. Подставим это значение в формулу:

$$ 2 = \frac{2\text{tg}(\alpha)}{1 - \text{tg}^2(\alpha)} $$

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $x = \text{tg}(\alpha)$. Тогда уравнение примет вид:

$$ 2 = \frac{2x}{1 - x^2} $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ 1 = \frac{x}{1 - x^2} $$

Умножим обе части на знаменатель $(1 - x^2)$, предполагая, что он не равен нулю (это условие выполняется, поскольку $\text{tg}(2\alpha)$ определен и равен 2):

$$ 1 - x^2 = x $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ x^2 + x - 1 = 0 $$

Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Таким образом, мы получили два возможных значения для $\text{tg}(\alpha)$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Теперь необходимо выбрать правильный корень, исходя из второго условия задачи: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV (четвертой) координатной четверти на тригонометрической окружности.

В IV четверти значения синуса отрицательны ($\sin(\alpha) < 0$), а значения косинуса положительны ($\cos(\alpha) > 0$). Следовательно, тангенс, как отношение синуса к косинусу, в этой четверти будет отрицательным ($\text{tg}(\alpha) < 0$).

Сравним два полученных корня:
Первый корень $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ является положительным числом, так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, и, следовательно, $-1 + \sqrt{5} > 0$.
Второй корень $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ является отрицательным числом, так как это сумма двух отрицательных слагаемых в числителе.

Поскольку тангенс угла $\alpha$ должен быть отрицательным, мы выбираем второй корень.

16.7. Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$