Номер 16.10, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.10. Вычислите: $\text{tg}15^\circ - \text{ctg}15^\circ$.

Для вычисления значения выражения $tg15^\circ - ctg15^\circ$ воспользуемся определениями тангенса и котангенса через синус и косинус.

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Подставим эти определения в исходное выражение:
$tg15^\circ - ctg15^\circ = \frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ} - \frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin15^\circ \cos15^\circ$:
$\frac{\sin15^\circ \cdot \sin15^\circ - \cos15^\circ \cdot \cos15^\circ}{\sin15^\circ \cos15^\circ} = \frac{\sin^215^\circ - \cos^215^\circ}{\sin15^\circ \cos15^\circ}$

В числителе и знаменателе дроби воспользуемся формулами двойного угла:
1. Для числителя используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Тогда числитель можно преобразовать:
$\sin^215^\circ - \cos^215^\circ = -(\cos^215^\circ - \sin^215^\circ) = -\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ)$.
2. Для знаменателя используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$. Тогда знаменатель равен:
$\sin(15^\circ)\cos(15^\circ) = \frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin(30^\circ)}{2}$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{-\cos(30^\circ)}{\frac{\sin(30^\circ)}{2}}$

Упростим полученное выражение:
$-2 \cdot \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = -2 ctg(30^\circ)$

Зная табличное значение $ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$, находим окончательный результат:
$-2 \cdot \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

Ответ: $-2\sqrt{3}$.