Номер 16.9, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.9. Найдите $\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}$, если $\sin\alpha = -\frac{13}{14}$ и $900^\circ < \alpha < 990^\circ$.

Для решения задачи необходимо найти значение выражения $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2}$. Решение будет состоять из двух основных частей: упрощение самого выражения и последующее вычисление его значения на основе данных из условия.

1. Упрощение тригонометрического выражения

Исходное выражение $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2}$ является разностью четвертых степеней, которую можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2} = \left(\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)^2 - \left(\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)^2 = \left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь мы можем применить два известных тригонометрических тождества к каждой из скобок в полученном произведении:

Первая скобка $\left(\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$ является основным тригонометрическим тождеством, и ее значение всегда равно 1.

Вторая скобка $\left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$ соответствует формуле косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$. Применив ее, получаем: $\cos\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\alpha$.

Подставив упрощенные значения обратно, получаем:

$(\cos\alpha) \cdot 1 = \cos\alpha$

Таким образом, задача сводится к нахождению значения $\cos\alpha$.

2. Нахождение значения $\cos\alpha$

По условию задачи нам дано, что $\sin\alpha = -\frac{13}{14}$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, чтобы найти $\cos\alpha$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{13}{14}\right)^2 = 1 - \frac{169}{196} = \frac{196 - 169}{196} = \frac{27}{196}$

Извлекая квадратный корень, находим два возможных значения для $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{27}{196}} = \pm\frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{\sqrt{196}} = \pm\frac{3\sqrt{3}}{14}$

Чтобы выбрать правильный знак, необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. По условию, $900^\circ < \alpha < 990^\circ$. Чтобы найти положение угла на единичной окружности, вычтем из его границ полные обороты ($360^\circ$). Вычтем два полных оборота ($2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$):

$900^\circ - 720^\circ = 180^\circ$

$990^\circ - 720^\circ = 270^\circ$

Таким образом, угол $\alpha$ лежит в интервале, эквивалентном $(180^\circ, 270^\circ)$, что соответствует III (третьей) координатной четверти. В этой четверти значения косинуса отрицательны. Следовательно, мы должны выбрать значение со знаком "минус".

$\cos\alpha = -\frac{3\sqrt{3}}{14}$

16.9. Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{14}$