Номер 16.12, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.12. Найдите число корней уравнения

$\cos4x+2\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+\cos^2 5x+\sin^2 5x=0$

на промежутке $[-\pi; \pi]$.

Для начала упростим данное уравнение, используя тригонометрические тождества.

Применим основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $. Для $ \alpha = 5x $ получаем: $ \cos^2(5x) + \sin^2(5x) = 1 $.

Далее, используем формулу приведения для синуса: $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $. В нашем случае $ \alpha = 2x $, поэтому: $ \sin(\frac{3\pi}{2} + 2x) = -\cos(2x) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $ \cos(4x) + 2(-\cos(2x)) + 1 = 0 $ $ \cos(4x) - 2\cos(2x) + 1 = 0 $

Теперь применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 $. Для $ \cos(4x) $ положим $ \alpha = 2x $: $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $.

Подставив это в уравнение, получим: $ (2\cos^2(2x) - 1) - 2\cos(2x) + 1 = 0 $ $ 2\cos^2(2x) - 2\cos(2x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos(2x) $ за скобки: $ 2\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1. $ \cos(2x) = 0 $
2. $ \cos(2x) - 1 = 0 \implies \cos(2x) = 1 $

Найдем общие решения для каждого из этих уравнений.

1. Из $ \cos(2x) = 0 $ следует, что $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Разделив на 2, получаем первую серию корней: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $.

2. Из $ \cos(2x) = 1 $ следует, что $ 2x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Разделив на 2, получаем вторую серию корней: $ x = \pi k $.

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $ [-\pi; \pi] $.

Для серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $ решим неравенство $ -\pi \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le \pi $. Разделим все части на $ \pi $: $ -1 \le \frac{1}{4} + \frac{n}{2} \le 1 $. Вычтем $ \frac{1}{4} $: $ -\frac{5}{4} \le \frac{n}{2} \le \frac{3}{4} $. Умножим на 2: $ -\frac{10}{4} \le n \le \frac{6}{4} $, что эквивалентно $ -2.5 \le n \le 1.5 $. Целые значения $ n $, попадающие в этот интервал: $ -2, -1, 0, 1 $. Найдем соответствующие значения $ x $:

• при $ n = -2 \implies x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} $
• при $ n = -1 \implies x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} $
• при $ n = 0 \implies x = \frac{\pi}{4} $
• при $ n = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $

Из этой серии мы получаем 4 корня.

Для серии $ x = \pi k $ решим неравенство $ -\pi \le \pi k \le \pi $. Разделим все части на $ \pi $: $ -1 \le k \le 1 $. Целые значения $ k $, попадающие в этот интервал: $ -1, 0, 1 $. Найдем соответствующие значения $ x $:

• при $ k = -1 \implies x = -\pi $
• при $ k = 0 \implies x = 0 $
• при $ k = 1 \implies x = \pi $

Из этой серии мы получаем 3 корня.

Все найденные корни $ \{-\pi, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi\} $ различны. Суммируя количество корней из обеих серий, получаем общее число корней на промежутке $ [-\pi; \pi] $: $ 4 + 3 = 7 $.

Ответ: 7