Номер 16.11, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.11. Найдите значение выражения $ \frac{1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\alpha} $, если $ \text{tg}\frac{\alpha}{2}=-3 $.

16.11.

Для нахождения значения выражения выполним его преобразование с помощью тригонометрических тождеств. Исходное выражение:

$$ \frac{1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{1 + \sin\alpha} $$

1. Упростим числитель. Выражение $ 1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} $ является формулой косинуса двойного угла, то есть:

$$ 1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = \cos\alpha $$

2. Упростим знаменатель. Используя основное тригонометрическое тождество $ 1 = \cos^2{\frac{\alpha}{2}} + \sin^2{\frac{\alpha}{2}} $ и формулу синуса двойного угла $ \sin\alpha = 2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}} $, получаем:

$$ 1 + \sin\alpha = \left(\cos^2{\frac{\alpha}{2}} + \sin^2{\frac{\alpha}{2}}\right) + 2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}} = \left(\cos{\frac{\alpha}{2}} + \sin{\frac{\alpha}{2}}\right)^2 $$

3. Преобразуем всю дробь. Подставим упрощенные числитель и знаменатель. Для числителя также используем формулу разности квадратов:

$$ \frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} = \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}} - \sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\left(\cos{\frac{\alpha}{2}} + \sin{\frac{\alpha}{2}}\right)^2} = \frac{\left(\cos{\frac{\alpha}{2}} - \sin{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\cos{\frac{\alpha}{2}} + \sin{\frac{\alpha}{2}}\right)}{\left(\cos{\frac{\alpha}{2}} + \sin{\frac{\alpha}{2}}\right)^2} $$

4. Сократим дробь на общий множитель $ \left(\cos{\frac{\alpha}{2}} + \sin{\frac{\alpha}{2}}\right) $. Это возможно, так как если бы он был равен нулю, то $ \tg{\frac{\alpha}{2}} $ был бы равен -1, что противоречит условию.

$$ \frac{\cos{\frac{\alpha}{2}} - \sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}} + \sin{\frac{\alpha}{2}}} $$

5. Разделим числитель и знаменатель на $ \cos{\frac{\alpha}{2}} $ (это действие корректно, так как $ \tg{\frac{\alpha}{2}} $ существует, а значит $ \cos{\frac{\alpha}{2}} \neq 0 $), чтобы перейти к тангенсу:

$$ \frac{\frac{\cos(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{1 - \tg{\frac{\alpha}{2}}}{1 + \tg{\frac{\alpha}{2}}} $$

6. Подставим в полученное выражение заданное в условии значение $ \tg{\frac{\alpha}{2}} = -3 $:

$$ \frac{1 - (-3)}{1 + (-3)} = \frac{1+3}{1-3} = \frac{4}{-2} = -2 $$

Ответ: -2