Номер 17.4, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.4. Найдите среднее арифметическое корней уравнения

$\sin3x + \sin x = \sin2x$

на промежутке $[-\pi; 0,5\pi]$.

17.4.

Для решения уравнения $sin3x + sinx = sin2x$ воспользуемся формулой суммы синусов для левой части: $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2sin\frac{3x+x}{2}cos\frac{3x-x}{2} = sin2x$

$2sin2x \cdot cosx = sin2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и вынесем общий множитель $sin2x$ за скобки:

$2sin2x \cdot cosx - sin2x = 0$

$sin2x(2cosx - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $sin2x = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in Z$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$

2) $2cosx - 1 = 0$

$cosx = \frac{1}{2}$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку $[-π; 0,5π]$, то есть $[-π; \frac{\pi}{2}]$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi n}{2}$ найдем значения, входящие в промежуток:

• при $n = -2 \implies x = -π$
• при $n = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2}$
• при $n = 0 \implies x = 0$
• при $n = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$

Для второй серии корней $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ найдем значения, входящие в промежуток:

• при $k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}$
• при $k = 0 \implies x = -\frac{\pi}{3}$

Таким образом, на промежутке $[-π; 0,5π]$ уравнение имеет 6 корней: $-π, -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.

Найдем среднее арифметическое этих корней. Для этого нужно найти их сумму и разделить на их количество.

Сумма корней: $S = (-π) + (-\frac{\pi}{2}) + (-\frac{\pi}{3}) + 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = -π$.

Количество корней: $N = 6$.

Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{N} = \frac{-π}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.