Номер 17.11, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.11. Найдите число различных корней уравнения $sin3xcos2x = sin5x$ на промежутке $[0, 2\pi]$.

Для решения уравнения $sin3x \cdot cos2x = sin5x$ воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму: $sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$.

Применив эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$, получим:

$sin3x \cdot cos2x = \frac{1}{2}(sin(3x+2x) + sin(3x-2x)) = \frac{1}{2}(sin5x + sinx)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(sin5x + sinx) = sin5x$

Умножим обе части уравнения на 2 и выполним преобразования:

$sin5x + sinx = 2sin5x$

$sinx = 2sin5x - sin5x$

$sin5x - sinx = 0$

Теперь применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$2sin\frac{5x-x}{2}cos\frac{5x+x}{2} = 0$

$2sin(2x)cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

$sin(2x) = 0$ или $cos(3x) = 0$.

Решим первое уравнение: $sin(2x) = 0$. Его общее решение имеет вид $2x = k\pi$, где $k$ — целое число. Отсюда $x = \frac{k\pi}{2}$. Найдём корни, принадлежащие промежутку $[0, 2\pi]$, решив неравенство $0 \le \frac{k\pi}{2} \le 2\pi$, что эквивалентно $0 \le k \le 4$. Целочисленные значения $k$: $0, 1, 2, 3, 4$. Это дает 5 корней: $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

Решим второе уравнение: $cos(3x) = 0$. Его общее решение имеет вид $3x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число. Отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}$. Найдём корни на промежутке $[0, 2\pi]$, решив неравенство $0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} \le 2\pi$, что после умножения на $\frac{6}{\pi}$ даёт $0 \le 1 + 2n \le 12$, или $-0.5 \le n \le 5.5$. Целочисленные значения $n$: $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Это дает 6 корней: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.

Теперь необходимо найти общее число различных корней. Выпишем все полученные корни:

Из первого уравнения: $\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}$

Из второго уравнения: $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}\}$

Общими для обоих множеств являются корни $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, общее количество различных корней равно сумме количеств корней из обоих уравнений минус количество общих корней: $5 + 6 - 2 = 9$.

Ответ: 9