Номер 17.13, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.13. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения $ \cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$.

Дано тригонометрическое уравнение: $cos(3x) + sin(x)sin(2x) = 0$

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$

Применим эту формулу к члену $sin(x)sin(2x)$, где $\alpha=2x$ и $\beta=x$: $sin(x)sin(2x) = \frac{1}{2}(cos(2x - x) - cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(cos(x) - cos(3x))$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $cos(3x) + \frac{1}{2}(cos(x) - cos(3x)) = 0$

Упростим уравнение, умножив все его члены на 2, чтобы избавиться от дроби: $2cos(3x) + cos(x) - cos(3x) = 0$ $cos(3x) + cos(x) = 0$

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$: $2cos(\frac{3x+x}{2})cos(\frac{3x-x}{2}) = 0$ $2cos(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $cos(x) = 0$
Решение в радианах: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Решение в градусах: $x = 90^\circ + 180^\circ n$.

2) $cos(2x) = 0$
Решение в радианах: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, что эквивалентно $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Решение в градусах: $2x = 90^\circ + 180^\circ k$, что эквивалентно $x = 45^\circ + 90^\circ k$.

Теперь необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим отрицательные значения $n$ и $k$.

Из первой серии корней $x = 90^\circ + 180^\circ n$:
При $n = -1$, $x = 90^\circ - 180^\circ = -90^\circ$.
При $n = -2$, $x = 90^\circ - 360^\circ = -270^\circ$.

Из второй серии корней $x = 45^\circ + 90^\circ k$:
При $k = -1$, $x = 45^\circ - 90^\circ = -45^\circ$.
При $k = -2$, $x = 45^\circ - 180^\circ = -135^\circ$.

Мы получили следующие отрицательные корни: $-45^\circ$, $-90^\circ$, $-135^\circ$, $-270^\circ$ и т.д. Наибольшим из этих отрицательных корней является тот, что имеет наименьшее абсолютное значение, то есть $-45^\circ$.

17.13. Ответ: -45