Номер 17.10, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.10. Найдите число корней уравнения $ \sin x + \sin 5x + \sqrt{3} \sin 3x = 0 $ на промежутке $ [\frac{\pi}{2}; \pi] $.

Преобразуем исходное уравнение $\sin x + \sin 5x + \sqrt{3} \sin 3x = 0$, используя формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$: $(\sin 5x + \sin x) + \sqrt{3} \sin 3x = 2 \sin(\frac{5x+x}{2}) \cos(\frac{5x-x}{2}) + \sqrt{3} \sin 3x = 0$.

$2 \sin(3x) \cos(2x) + \sqrt{3} \sin 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin(3x)$ за скобки: $\sin(3x) (2 \cos(2x) + \sqrt{3}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям. Найдем корни каждого из них на заданном промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

1) Решение уравнения $\sin(3x) = 0$
Общее решение уравнения имеет вид $3x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = \frac{k\pi}{3}$.
Найдем значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $[\frac{\pi}{2}; \pi]$: $\frac{\pi}{2} \le \frac{k\pi}{3} \le \pi$.
Разделив на $\pi$ и умножив на 3, получим: $1.5 \le k \le 3$.
Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому условию, это $k=2$ и $k=3$.
При $k=2$, $x = \frac{2\pi}{3}$.
При $k=3$, $x = \frac{3\pi}{3} = \pi$.
Таким образом, из этого уравнения получаем 2 корня на заданном промежутке. Ответ: 2

2) Решение уравнения $2 \cos(2x) + \sqrt{3} = 0$
Преобразуем уравнение: $2\cos(2x) = -\sqrt{3}$, откуда $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем: $2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$.
Это дает две серии корней: $x = \frac{5\pi}{12} + n\pi$ и $x = -\frac{5\pi}{12} + n\pi$.
- Для серии $x = \frac{5\pi}{12} + n\pi$ найдем корни на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$: $\frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{12} + n\pi \le \pi \implies \frac{6}{12} \le \frac{5}{12} + n \le \frac{12}{12} \implies \frac{1}{12} \le n \le \frac{7}{12}$. В этом интервале нет целых значений $n$.
- Для серии $x = -\frac{5\pi}{12} + n\pi$ найдем корни на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$: $\frac{\pi}{2} \le -\frac{5\pi}{12} + n\pi \le \pi \implies \frac{6}{12} \le -\frac{5}{12} + n \le \frac{12}{12} \implies \frac{11}{12} \le n \le \frac{17}{12}$. Единственное целое значение $n$ в этом интервале — это $n=1$.
При $n=1$, получаем корень $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{7\pi}{12}$.
Таким образом, из этого уравнения получаем 1 корень на заданном промежутке. Ответ: 1

Всего на промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ найдено $2 + 1 = 3$ различных корня: $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$ и $\frac{7\pi}{12}$.

Общее число корней уравнения на заданном промежутке.
Ответ: 3