Номер 17.5, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.5. Докажите тождество

$\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha + \cos7\alpha} = \operatorname{tg}4\alpha$

17.5.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе, чтобы применить формулы суммы синусов и суммы косинусов.

Левая часть = $\frac{(\sin\alpha + \sin7\alpha) + (\sin3\alpha + \sin5\alpha)}{(\cos\alpha + \cos7\alpha) + (\cos3\alpha + \cos5\alpha)}$

Будем использовать следующие формулы преобразования суммы в произведение:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Преобразуем числитель дроби:

$(\sin\alpha + \sin7\alpha) + (\sin3\alpha + \sin5\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha+7\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{7\alpha-\alpha}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right)$

$= 2 \sin4\alpha\cos3\alpha + 2 \sin4\alpha\cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2\sin4\alpha$ за скобки:

$= 2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$

Теперь преобразуем знаменатель дроби:

$(\cos\alpha + \cos7\alpha) + (\cos3\alpha + \cos5\alpha) = 2 \cos\left(\frac{\alpha+7\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{7\alpha-\alpha}{2}\right) + 2 \cos\left(\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right)$

$= 2 \cos4\alpha\cos3\alpha + 2 \cos4\alpha\cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2\cos4\alpha$ за скобки:

$= 2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)}{2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)}$

Сократим общий множитель $2(\cos3\alpha + \cos\alpha)$, при условии, что он не равен нулю, а также что $\cos4\alpha \neq 0$ (область определения тангенса):

$\frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \tan4\alpha$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.