Номер 17.9, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.9. Докажите, что значение выражения

$\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 15^{\circ}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + 15^{\circ}\right)$

не зависит от $\alpha$.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от $\alpha$, необходимо его упростить. Рассмотрим выражение: $sin\alpha - 2sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ)cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)$.

Преобразуем произведение $2sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ)cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)$ с помощью тригонометрической формулы преобразования произведения в сумму:

$2sin(A)cos(B) = sin(A+B) + sin(A-B)$

В данном случае, примем $A = \frac{\alpha}{2} - 15^\circ$ и $B = \frac{\alpha}{2} + 15^\circ$.

Найдем сумму и разность аргументов A и B:

$A+B = (\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) + (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$

$A-B = (\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) - (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \frac{\alpha}{2} - 15^\circ - \frac{\alpha}{2} - 15^\circ = -30^\circ$

Подставим полученные значения в формулу преобразования произведения:

$2sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ)cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = sin(\alpha) + sin(-30^\circ)$

Поскольку синус — нечетная функция ($sin(-x) = -sin(x)$) и $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$sin(-30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Следовательно, преобразованное произведение равно:

$sin(\alpha) - \frac{1}{2}$

Теперь подставим этот результат в исходное выражение:

$sin\alpha - (sin(\alpha) - \frac{1}{2}) = sin\alpha - sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

17.9. Ответ: в результате упрощения мы получили значение $\frac{1}{2}$, которое является константой и не зависит от переменной $\alpha$, что и требовалось доказать.