Номер 16.24, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.24. Докажите тождество $ \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos \left(\frac{4\pi}{7}\right) \cdot \cos \left(\frac{5\pi}{7}\right) = \frac{1}{8} $.

Обозначим левую часть тождества как $P$.

$P = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)$

Для преобразования выражения воспользуемся формулой приведения $\cos(\alpha) = -\cos(\pi - \alpha)$.

Применим её к двум последним множителям:

$\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)$

$\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$P = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \left(-\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)\right) \cdot \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)$

Два знака "минус" дают "плюс", поэтому после упрощения и перестановки множителей получаем:

$P = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)$

Для вычисления этого произведения умножим и разделим его на $2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$. Это допустимо, так как $\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \neq 0$.

$P = \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}$

Используя в числителе формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:

$P = \frac{\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}$

Снова применяем формулу синуса двойного угла, предварительно умножив числитель и знаменатель на 2:

$P = \frac{2\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{2 \cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin\left(2 \cdot \frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{4\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}{4\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}$

Теперь к числителю применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.

В нашем случае $A = \frac{4\pi}{7}$ и $B = \frac{3\pi}{7}$.

$\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{4\pi}{7} + \frac{3\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7} - \frac{3\pi}{7}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{7\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin(\pi) + \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\right)$

Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:

$\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для $P$:

$P = \frac{\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}{4\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\frac{1}{8}$, что совпадает с правой частью.

$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) = \frac{1}{8}$

Что и требовалось доказать.