Номер 1, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.1. Вычислите:

a) $ (2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3}; $

б) $ 125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3. $

а) $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3}$

Для решения данного выражения вычислим каждое слагаемое и произведение по шагам.

1. Преобразуем смешанную дробь, десятичную дробь и десятичный показатель степени в удобный для вычислений вид:
$2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}$
$0.81 = \frac{81}{100}$
$-0.5 = -\frac{1}{2}$

2. Вычислим произведение $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5}$:
Первый множитель: $( \frac{64}{27} )^{-\frac{2}{3}} = ( \frac{27}{64} )^{\frac{2}{3}}$. Используя свойство степени $(a/b)^{m/n} = (\sqrt[n]{a/b})^m$, получаем: $(\sqrt[3]{\frac{27}{64}})^2 = (\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
Второй множитель: $0.81^{-0.5} = (\frac{81}{100})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{100}{81})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$.
Произведение: $\frac{9}{16} \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.

3. Вычислим остальные слагаемые:
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

4. Сложим все полученные значения:
$\frac{5}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$. Приведем к общему знаменателю 8:
$\frac{5}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5+2+1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Ответ: 1

б) $125^{\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{\frac{1}{3}} - 3$

Вычислим значение выражения по действиям, используя свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

1. $125^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25$
2. $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
3. $343^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{343} = 7$

4. Подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним арифметические операции:
$25 - 4 + 7 - 3 = 21 + 7 - 3 = 28 - 3 = 25$.

Ответ: 25