Номер 6, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.6. Сравните значения выражений $12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{\sqrt{192}}$ и $4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{48}}$.

Чтобы сравнить значения выражений $12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{\sqrt{192}}$ и $4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{48}}$, необходимо упростить каждое из них.

1. Упрощение первого выражения $12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{\sqrt{192}}$

Сначала преобразуем корни в показателях степеней, вынося множители из-под знака корня:

• $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
• $\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$12^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}$

Теперь разложим основание 12 на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$.

$(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}$

Используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим:

$(2^2)^{4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}} = 2^{2 \cdot 4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}} = 2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для степеней с одинаковым основанием, сложим показатели:

$2^{8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} = 2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}$

2. Упрощение второго выражения $4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{48}}$

Аналогично упростим корни в показателях:

• $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$
• $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$4^{6\sqrt{3}} \cdot 6^{4\sqrt{3}}$

Разложим основания 4 и 6 на простые множители: $4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.

$(2^2)^{6\sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}}$

Применим свойства степеней:

$2^{2 \cdot 6\sqrt{3}} \cdot 2^{4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} = 2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}$

Сложим показатели у степеней с основанием 2:

$2^{12\sqrt{3} + 4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} = 2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}$

3. Сравнение результатов

Результат упрощения первого выражения: $2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}$

Результат упрощения второго выражения: $2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}$

Поскольку оба выражения приводятся к одному и тому же виду, их значения равны.

Ответ: Значения выражений равны.