Номер 9, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.9.Упростите выражение $1 - (c^{-0.1} - c^{0.3})(c^{0.6} + c)c^{-0.5}$

Для упрощения выражения $1 - (c^{-0,1} - c^{0,3})(c^{0,6} + c)c^{-0,5}$ необходимо последовательно выполнить действия, начиная с произведения в скобках.

1. Упрощение произведения $(c^{-0,1} - c^{0,3})(c^{0,6} + c)c^{-0,5}$

Сначала преобразуем выражения в скобках, вынеся общий множитель:

• В первой скобке $(c^{-0,1} - c^{0,3})$ выносим $c^{-0,1}$:
  $c^{-0,1} - c^{0,3} = c^{-0,1}(1 - c^{0,3 - (-0,1)}) = c^{-0,1}(1 - c^{0,4})$
• Во второй скобке $(c^{0,6} + c)$ выносим $c^{0,6}$. Учитываем, что $c = c^1$:
  $c^{0,6} + c^1 = c^{0,6}(1 + c^{1 - 0,6}) = c^{0,6}(1 + c^{0,4})$

Теперь подставим преобразованные скобки обратно в произведение:

$[c^{-0,1}(1 - c^{0,4})] \cdot [c^{0,6}(1 + c^{0,4})] \cdot c^{-0,5}$

Сгруппируем отдельно множители со степенями $c$ и множители в скобках:

$(c^{-0,1} \cdot c^{0,6} \cdot c^{-0,5}) \cdot [(1 - c^{0,4})(1 + c^{0,4})]$

2. Вычисление каждой группы

• Упростим произведение степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
  $c^{-0,1 + 0,6 - 0,5} = c^{0,5 - 0,5} = c^0 = 1$
• Упростим произведение скобок, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=c^{0,4}$:
  $(1 - c^{0,4})(1 + c^{0,4}) = 1^2 - (c^{0,4})^2 = 1 - c^{0,4 \cdot 2} = 1 - c^{0,8}$

Таким образом, результат всего произведения равен $1 \cdot (1 - c^{0,8}) = 1 - c^{0,8}$.

3. Конечное упрощение

Подставим полученное значение произведения в исходное выражение:

$1 - (1 - c^{0,8})$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$1 - 1 + c^{0,8} = c^{0,8}$

Ответ: $c^{0,8}$