Номер 16, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.16. Сократите дробь:

а) $ \frac{a^{2\sqrt{2}} - 36}{a^{\sqrt{2}} + 6} $

б) $ \frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{\sqrt{20}} - b^{\sqrt{28}}} $

В) $ \frac{a^{2\sqrt{3}} + 2a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + b^{2\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}}b^{2\sqrt{2}}} $

Г) $ \frac{x^{\sqrt{7}} - 25}{x^{\sqrt[3]{7}} + 10x^{\sqrt[6]{7}} + 25} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^{2\sqrt{2}} - 36}{a^{\sqrt{2}} + 6}$, заметим, что числитель является разностью квадратов.
Представим числитель в виде $a^{2\sqrt{2}} - 36 = (a^{\sqrt{2}})^2 - 6^2$.
Используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, получаем:
$(a^{\sqrt{2}})^2 - 6^2 = (a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6)}{a^{\sqrt{2}} + 6}$
Сокращаем общий множитель $(a^{\sqrt{2}} + 6)$ в числителе и знаменателе.
Ответ: $a^{\sqrt{2}} - 6$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{\sqrt{20}} - b^{\sqrt{28}}}$, сначала упростим показатели степеней в знаменателе.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$
Дробь принимает вид: $\frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{5}} - b^{2\sqrt{7}}}$.
Знаменатель является разностью квадратов: $a^{2\sqrt{5}} - b^{2\sqrt{7}} = (a^{\sqrt{5}})^2 - (b^{\sqrt{7}})^2$.
Разложим знаменатель на множители: $(a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}})(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}})$.
Подставим в дробь:
$\frac{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}{(a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}})(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}})}$
Сокращаем общий множитель $(a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}})$.
Ответ: $\frac{1}{a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}}}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^{2\sqrt{3}} + 2a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + b^{2\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}}b^{2\sqrt{2}}}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, где $A = a^{\sqrt{3}}$ и $B = b^{\sqrt{2}}$:
$a^{2\sqrt{3}} + 2a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + b^{2\sqrt{2}} = (a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}}$:
$a^{2\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}}b^{2\sqrt{2}} = a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}}(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2}{a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}}(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$.
Ответ: $\frac{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}}}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{x^{\frac{\sqrt{7}}{3}} - 25}{x^{\frac{\sqrt{7}}{3}} + 10x^{\frac{\sqrt{7}}{6}} + 25}$, воспользуемся заменой переменной.
Пусть $y = x^{\frac{\sqrt{7}}{6}}$. Тогда $y^2 = (x^{\frac{\sqrt{7}}{6}})^2 = x^{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{6}} = x^{\frac{\sqrt{7}}{3}}$.
Подставим новую переменную в выражение:
$\frac{y^2 - 25}{y^2 + 10y + 25}$
Числитель — это разность квадратов: $y^2 - 25 = (y-5)(y+5)$.
Знаменатель — это полный квадрат суммы: $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
Дробь принимает вид:
$\frac{(y-5)(y+5)}{(y+5)^2}$
Сокращаем общий множитель $(y+5)$:
$\frac{y-5}{y+5}$
Выполним обратную замену $y = x^{\frac{\sqrt{7}}{6}}$:
Ответ: $\frac{x^{\frac{\sqrt{7}}{6}} - 5}{x^{\frac{\sqrt{7}}{6}} + 5}$