Номер 2, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.2. Определите знак значения выражения:

a) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}} - (\frac{1}{7})^{\sqrt{5}};

б) $(5,1)^{-\pi} - (7,9)^{-\pi}.

Для определения знака значения выражения необходимо сравнить уменьшаемое и вычитаемое. Знак разности $A - B$ будет положительным, если $A > B$, и отрицательным, если $A < B$. Для сравнения воспользуемся свойствами степенной функции $y = x^k$.

• Если показатель степени $k > 0$, функция является возрастающей (большему основанию $x$ соответствует большее значение функции $y$).
• Если показатель степени $k < 0$, функция является убывающей (большему основанию $x$ соответствует меньшее значение функции $y$).

a) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}} - (\frac{1}{7})^{\sqrt{5}}$

В данном выражении показатель степени $k = \sqrt{5}$ является положительным числом. Следовательно, степенная функция $y = x^{\sqrt{5}}$ является возрастающей.

Сравним основания степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{7}$.

Так как $2 < 7$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{7}$.

Поскольку функция возрастающая, большему значению основания соответствует большее значение степени. Таким образом:

$(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}} > (\frac{1}{7})^{\sqrt{5}}$

Так как уменьшаемое больше вычитаемого, их разность положительна.

Ответ: Значение выражения положительное.

б) $(5,1)^{-\pi} - (7,9)^{-\pi}$

В данном выражении показатель степени $k = -\pi$ является отрицательным числом (так как $\pi \approx 3,14 > 0$). Следовательно, степенная функция $y = x^{-\pi}$ является убывающей.

Сравним основания степеней: $5,1$ и $7,9$.

$5,1 < 7,9$.

Поскольку функция убывающая, большему значению основания соответствует меньшее значение степени. Таким образом:

$(5,1)^{-\pi} > (7,9)^{-\pi}$

Так как уменьшаемое больше вычитаемого, их разность положительна.

Ответ: Значение выражения положительное.