Номер 7, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.7. Изобразите схематически график функции:

а) $y = x^{-\\sqrt{2}}$;

б) $y = x^{\\frac{1}{\\pi}}$.

Для построения схематических графиков степенных функций вида $y = x^a$ необходимо проанализировать показатель степени $a$.

Анализируем функцию $y = x^{-\sqrt{2}}$.

1. Показатель степени: $a = -\sqrt{2}$. Это иррациональное отрицательное число. Приблизительное значение: $a \approx -1.414$.
2. Область определения: Так как показатель степени иррациональный, функция определена только для положительных значений $x$.
   $D(y) = (0, +\infty)$.
3. Область значений: Поскольку $x > 0$, то $x^{\sqrt{2}} > 0$, и, следовательно, $y = \frac{1}{x^{\sqrt{2}}} > 0$.
   $E(y) = (0, +\infty)$.
4. Поведение на границах области определения (асимптоты):
   • При $x \to 0^+$ имеем $x^{\sqrt{2}} \to 0^+$, значит $y = \frac{1}{x^{\sqrt{2}}} \to +\infty$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.
   • При $x \to +\infty$ имеем $x^{\sqrt{2}} \to +\infty$, значит $y = \frac{1}{x^{\sqrt{2}}} \to 0^+$. Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.
5. Монотонность: Найдем первую производную: $y' = (-\sqrt{2})x^{-\sqrt{2}-1}$.
   Для любого $x > 0$, $x^{-\sqrt{2}-1} > 0$. Так как $-\sqrt{2} < 0$, то $y' < 0$ на всей области определения. Следовательно, функция является убывающей на интервале $(0, +\infty)$.
6. Выпуклость: Найдем вторую производную: $y'' = (-\sqrt{2})(-\sqrt{2}-1)x^{-\sqrt{2}-2} = (\sqrt{2}(\sqrt{2}+1))x^{-(\sqrt{2}+2)}$.
   Для любого $x > 0$, $x^{-(\sqrt{2}+2)} > 0$. Коэффициент $\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 2+\sqrt{2} > 0$. Таким образом, $y'' > 0$ на всей области определения. Следовательно, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
7. Контрольная точка: При $x=1$, $y = 1^{-\sqrt{2}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.

Ответ: Схематический график функции $y = x^{-\sqrt{2}}$ расположен в первой координатной четверти. Он проходит через точку $(1, 1)$. При приближении $x$ к нулю справа, график уходит в бесконечность (вертикальная асимптота $x=0$). При увеличении $x$, график убывает и приближается к оси абсцисс (горизонтальная асимптота $y=0$). График является выпуклым вниз.

Анализируем функцию $y = x^{\frac{1}{\pi}}$.

1. Показатель степени: $a = \frac{1}{\pi}$. Это иррациональное положительное число. Так как $\pi \approx 3.14$, то $a \approx 0.318$. Заметим, что $0 < a < 1$.
2. Область определения: Так как показатель степени иррациональный, функция стандартно определяется для $x \ge 0$.
   $D(y) = [0, +\infty)$.
3. Область значений: Поскольку $x \ge 0$ и показатель степени положительный, то $y \ge 0$.
   $E(y) = [0, +\infty)$.
4. Поведение на границах области определения (асимптоты):
   • При $x=0$, $y = 0^{\frac{1}{\pi}} = 0$. График начинается в точке $(0, 0)$.
   • При $x \to +\infty$ имеем $y = x^{\frac{1}{\pi}} \to +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.
5. Монотонность: Найдем первую производную: $y' = \frac{1}{\pi}x^{\frac{1}{\pi}-1} = \frac{1}{\pi}x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$.
   Для любого $x > 0$, $x^{\frac{1-\pi}{\pi}} > 0$. Так как $\frac{1}{\pi} > 0$, то $y' > 0$ на интервале $(0, +\infty)$. Следовательно, функция является возрастающей на всей области определения $[0, +\infty)$.
6. Выпуклость: Найдем вторую производную: $y'' = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{\pi}-1)x^{\frac{1}{\pi}-2}$.
   Для любого $x > 0$, $x^{\frac{1}{\pi}-2} > 0$. Коэффициент $\frac{1}{\pi}(\frac{1}{\pi}-1)$ отрицателен, так как $\frac{1}{\pi} > 0$ и $(\frac{1}{\pi}-1) < 0$. Таким образом, $y'' < 0$ на интервале $(0, +\infty)$. Следовательно, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
7. Контрольные точки и поведение в нуле:
   • При $x=1$, $y = 1^{\frac{1}{\pi}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • Поведение производной при $x \to 0^+$: $y' = \frac{1}{\pi x^{\frac{\pi-1}{\pi}}}$. Так как $0 < \frac{\pi-1}{\pi} < 1$, то при $x \to 0^+$, знаменатель стремится к $0^+$, и $y' \to +\infty$. Это означает, что касательная к графику в точке $(0, 0)$ является вертикальной (совпадает с осью $Oy$).

Ответ: Схематический график функции $y = x^{\frac{1}{\pi}}$ расположен в первой координатной четверти. Он начинается в точке $(0, 0)$, причем касательная в этой точке вертикальна. График возрастает, проходит через точку $(1, 1)$ и уходит в бесконечность. График является выпуклым вверх.