Номер 2, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.2. Найдите $\log_a 16$, если:

а) $a = 2;$

б) $a = \frac{1}{2};$

в) $a = \sqrt{2};$

г) $a = 256;$

д) $a = 256;$

е) $a = 16.$

а) Для того чтобы найти $\log_a 16$ при $a = 2$, необходимо вычислить $\log_2 16$.
Пусть $x = \log_2 16$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $2^x = 16$.
Мы знаем, что $16$ можно представить как степень числа $2$: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Таким образом, уравнение принимает вид $2^x = 2^4$.
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $x = 4$.
Ответ: 4

б) Для того чтобы найти $\log_a 16$ при $a = \frac{1}{2}$, необходимо вычислить $\log_{1/2} 16$.
Пусть $x = \log_{1/2} 16$. Это означает, что $(\frac{1}{2})^x = 16$.
Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием $2$.
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $16 = 2^4$.
Уравнение принимает вид $(2^{-1})^x = 2^4$, что равносильно $2^{-x} = 2^4$.
Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = 4$, откуда $x = -4$.
Ответ: -4

в) Для того чтобы найти $\log_a 16$ при $a = \sqrt{2}$, необходимо вычислить $\log_{\sqrt{2}} 16$.
Пусть $x = \log_{\sqrt{2}} 16$. По определению, $(\sqrt{2})^x = 16$.
Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием $2$.
$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $16 = 2^4$.
Уравнение принимает вид $(2^{1/2})^x = 2^4$, что равносильно $2^{x/2} = 2^4$.
Приравнивая показатели степеней, получаем $\frac{x}{2} = 4$, откуда $x = 8$.
Ответ: 8

г) Для того чтобы найти $\log_a 16$ при $a = 256$, необходимо вычислить $\log_{256} 16$.
Пусть $x = \log_{256} 16$. Это означает, что $256^x = 16$.
Представим $256$ как степень числа $16$: $256 = 16^2$.
Уравнение принимает вид $(16^2)^x = 16^1$, что равносильно $16^{2x} = 16^1$.
Приравнивая показатели степеней, получаем $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Для того чтобы найти $\log_a 16$ при $a = 256$, необходимо вычислить $\log_{256} 16$.
Данный пункт идентичен пункту г).
Пусть $x = \log_{256} 16$, тогда $256^x = 16$.
Зная, что $256 = 16^2$, подставляем в уравнение: $(16^2)^x = 16^1 \implies 16^{2x} = 16^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Для того чтобы найти $\log_a 16$ при $a = 16$, необходимо вычислить $\log_{16} 16$.
По основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому же числу, всегда равен единице: $\log_b b = 1$ (где $b>0, b \neq 1$).
Следовательно, $\log_{16} 16 = 1$.
Проверим по определению: если $\log_{16} 16 = x$, то $16^x = 16^1$, откуда $x=1$.
Ответ: 1